Beschränktheit einer Menge zeigen

Question

Hallöle,

ich bin gerade in der Klausurvorbereitung und möchte zeigen, dass die Menge $M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+y z+z^{2}=1\right\}$ kompakt ist. Als Teilmenge des $\mathbb{R}^n$ zeige ich die Abgeschlossen- und Beschränktheit.

Für die Abgeschlossenheit definiere ich mir eine Funktion $\phi (x,y,z)=x^2+y^2+yz+z^2$, dann ist $\phi ^{-1} \{1\}=M$ und somit ist die Menge abgeschlossen (Urbilder abgeschlossener Mengen...).

Die Beschränktheit bereitet mir Probleme. Wenn ich mir das in Geogebra zeichnen lasse: https://www.geogebra.org/3d/dbbwzzyy dann sieht man die Beschränktheit. Ich kann ja z.B. einen Würfel $[2,0,0] \times [0,2,0] \times [0,0,2]$ darum legen, der den Körper komplett umfasst. In der Klausur stehen mir solche Hilfsmittel nicht zu verfügung. Deshalb wollte ich fragen, wie man das "mathematisch" löst?

Answer 1

Mathematisch kann man das so bearbeiten:

$$1= \phi(x,y,z)=x^2+0.5y^2+0.5z^2+0.5(y+z)^2 \geq x^2 \Rightarrow 1 \geq |x|$$

weil jetzt alle Summanden nichtnegativ sind. Analog

$$1= \phi(x,y,z)=x^2+0.5y^2+0.5z^2+0.5(y+z)^2 \geq 0.5y^2 \Rightarrow \sqrt{2} \geq |y|$$

usw.

Comments

Vielen Dank erstmal für deine Antwort. Eine Rückfrage habe ich noch:

Wie genau kommst du auf die abgewandelte Form von $\Phi$, also woher kommen die $\frac{1}{2}$ vor dem y und z?

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Es ist

$$y^2+yz+z^2=0.5y^2+0.5y^2+0.5\cdot 2\cdot yz+0.5z^2+0.5z^2$$

$$=0.5y^2+0.5(y+z)^2+0.5z^2$$

Answer 2

Mit quadratischer Ergänzung erhält man

$1=x^2+y^2+yz+z^2=x^2+(y+z/2)^2+3/4z^2$ und somit

$|x|\leq 1,\; |z|\leq \sqrt{4/3}< 4/3,\; |y+z/2|\leq 1$. Letzteres liefert

$|y|=|y+z/2-z/2|\leq |y+z/2|+|z/2|\leq 1+2/3=5/3$.

Die Punkte liegen also alle in dem beschränkten Quader

$[-1,\; 1]\times [-5/3,\; 5/3]\times [-1,\; 1]$.