Beschränktheit einer Menge zeigen

Question

Hallöle,

ich bin gerade in der Klausurvorbereitung und möchte zeigen, dass die Menge \( M:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+y z+z^{2}=1\right\} \) kompakt ist. Als Teilmenge des \(\mathbb{R}^n \) zeige ich die Abgeschlossen- und Beschränktheit.

Für die Abgeschlossenheit definiere ich mir eine Funktion \( \phi (x,y,z)=x^2+y^2+yz+z^2 \), dann ist \(\phi ^{-1} \{1\}=M \) und somit ist die Menge abgeschlossen (Urbilder abgeschlossener Mengen...).

Die Beschränktheit bereitet mir Probleme. Wenn ich mir das in Geogebra zeichnen lasse: https://www.geogebra.org/3d/dbbwzzyy dann sieht man die Beschränktheit. Ich kann ja z.B. einen Würfel \( [2,0,0] \times [0,2,0] \times [0,0,2] \) darum legen, der den Körper komplett umfasst. In der Klausur stehen mir solche Hilfsmittel nicht zu verfügung. Deshalb wollte ich fragen, wie man das "mathematisch" löst?

Answer 1

Mathematisch kann man das so bearbeiten:

$$1= \phi(x,y,z)=x^2+0.5y^2+0.5z^2+0.5(y+z)^2 \geq x^2 \Rightarrow 1 \geq |x|$$

weil jetzt alle Summanden nichtnegativ sind. Analog

$$1= \phi(x,y,z)=x^2+0.5y^2+0.5z^2+0.5(y+z)^2 \geq 0.5y^2 \Rightarrow \sqrt{2} \geq |y|$$

usw.

Comments

Vielen Dank erstmal für deine Antwort. Eine Rückfrage habe ich noch:

Wie genau kommst du auf die abgewandelte Form von \(\Phi \), also woher kommen die \(\frac{1}{2} \) vor dem y und z?

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Es ist

$$y^2+yz+z^2=0.5y^2+0.5y^2+0.5\cdot 2\cdot yz+0.5z^2+0.5z^2$$

$$=0.5y^2+0.5(y+z)^2+0.5z^2$$

Answer 2

Mit quadratischer Ergänzung erhält man

\(1=x^2+y^2+yz+z^2=x^2+(y+z/2)^2+3/4z^2\) und somit

\(|x|\leq 1,\; |z|\leq \sqrt{4/3}< 4/3,\; |y+z/2|\leq 1\). Letzteres liefert

\(|y|=|y+z/2-z/2|\leq |y+z/2|+|z/2|\leq 1+2/3=5/3\).

Die Punkte liegen also alle in dem beschränkten Quader

\([-1,\; 1]\times [-5/3,\; 5/3]\times [-1,\; 1]\).