Teilbarkeit durch 3 für den Ausdruck (4-a^3) / a?

Question

Aufgabe:

Ich möchte herausfinden, ob der Ausdruck $$ \left(\frac{4-a^{3}}{a}\right) $$ ohne Rest durch 3 teilbar ist.

Problem/Ansatz:

Die Teilbarkeit durch 3 lässt sich wie folgt formulieren.:

$$ \left(\frac{4-a^{3}}{a}\right)=3\cdot{b}\phantom{10}a,b>0;\phantom{5}a,b\in \mathbb{Q}\\ $$

Duch Umformen erhält man

$$ 0=a^{3}+3\cdot{b}\cdot{a}-4\\ 0=a^{3}-1+3\cdot{b}\cdot{a}-3\\ $$

Die Idee besteht nun darin, eine passende Faktorisierung zu finden.

$$0=\left(a-1\right)\cdot{\left(a^2+a+1\right)}+3\cdot{\left(a\cdot{b}-1\right)}\\ 0=\left(a-1\right)\cdot{\left(a\cdot{\left(a+1\right)}+1\right)}+3\cdot{\left(a\cdot{b}-1\right)}\\ 0=\left(a-1\right)\cdot{a}\cdot{}\left(a+1\right)+\left(a-1\right)+3\cdot{\left(a\cdot{b}-1\right)}\\$$

In dem vorderen Term ist von drei aufeinander folgenden Zahlen eine durch 3 teilbar:

$$\left(a-1\right)\cdot{a}\cdot{}\left(a+1\right)\\$$

Der letzte Term ist ebenfalls durch 3 teilbar:

$$ 3\cdot{\left(a\cdot{b}-1\right)}\\$$

Bleibt noch der Term \( \left(a-1\right) \) übrig, der für bestimmte Werte von a durch 3 teilbar ist.

Kann man nun sagen, dass der gesamte Ausdruck durch 3 teilbar ist oder nur mit Einschränkungen?

Wie kann man das genau formulieren?

Ist das die einzige Lösung des Problems oder gibt es noch andere Möglichkeiten?

Comments

Ich habe es mal spaßeshalber in Excel eingeben und da gibt es für a zwischen -100 und 100 nur ganzzahlige Lösungen für a = -2, 1, und 4.

Ich behaupte jetzt mal, das sind die einzigen Lösungen?

Answer 1

Bevor wir uns Gedanken machen, ob \(\left(\frac{4-a^{3}}{a}\right) \) durch 3 teilbar ist, muss der Ausdruck \(\left(\frac{4-a^{3}}{a}\right) \) selbst erst einmal ganzzahlig sein (sonst wäre das Nachdenken über Teilbarkeit sinnlos).

Dieser Term lässt sich als \(\left(\frac{4}{a}-a^2\right) \) schreiben und ist für ganze Zahlen a nur ganzzahlig, wenn auch \(\frac{4}{a} \) ganzzahlig ist. Also kann a höchstens ±1, ±2 oder ±4 sein.

Comments

Ich hatte bei der Frage vorausgesetzt, dass die Variablen a und b rational sind. (siehe Ansatz ganz oben)

Man kann die Überlegung natürlich auf ganze Zahlen anwenden und den Ausdruck entsprechend ändern, indem man z.B. a = p / q setzt, mit p und q als natürliche Zahlen.

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Ich hatte bei der Frage vorausgesetzt, dass die Variablen a und b rational sind. (siehe Ansatz ganz oben)

Und dann hast du diese Annahme hiermit über den Haufen geworfen:

In dem vorderen Term ist von drei aufeinander folgenden Zahlen eine durch 3 teilbar:$$\left(a-1\right)\cdot{a}\cdot{}\left(a+1\right)\\$$

Damit gehst du nämlich doch davon aus, dass a ganzzahlig ist.

Answer 2

(a-1) ist für a=3n+1 durch 3 teilbar,

also a∈{...;-2;1;4;7;...}