Diagonalisierbarkeit und Basis aus Eigenvektoren bilden

Question

Text erkannt:

Gegeben sei die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 10 & 0 & 0 \\ -5 & 13 & -2 \\ 5 & -3 & 12 \end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3 \times 3} \)
(a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte von \( A \).
(b) Bestimmen Sie alle Eigenräume von \( A \).
(c) Zeigen Sie, dass \( A \) diagonalisierbar ist und geben Sie eine Basis \( B \) aus Eigenvektoren an. Geben Sie auch \( M_{B}^{B}(A) \) und \( M_{B}^{E} \) sowie \( M_{E}^{B} \) an.

Ich sitze gerade an dieser Aufgabe und hänge bei c).

Ich habe bereits die EIgenwerte bestimmt (15,10,10) und dazu die Eigenvektoren (-1/5 , 1 , 1) und (-1,5,5) für den Eigenwert 10 und (0,-1,1) für den Eigenwert 15 bestimmt.

Meiner bisherigen Erkenntnis nach ist eine Matrix doch nur diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom mindestens n (also 3) Nullstellen hat. In dem Fall sind es aber nur 2. Also kann ich die doch gar nicht diagonalisieren und das damit nicht zeigen.

Mit der Bildung der Basis bin ich auch ein bisschen überfragt, da mit dem zweidimensionalen Eigenraum zum Eigenwert 10 die beiden Eigenvekoren ja linear abhängig sind und ich die also nicht beide in die Basis packen kann. (Evtl. nur Standardbasisvektoren nutzen?)

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Comments

Der Eigenraum zum Eigenwert 10 ist zweidimensional. Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems \((A-10I)x=0\) enthält 2 linear unabhängige Lösungen, diese musst Du für Deine Basis nutzen.

Answer 1

Aloha :)

Die Eigenwerte \(\lambda_1=15\) und \(\lambda_2=\lambda_3=10\) sind korrekt.\(\quad\checkmark\)

Der Eigenvektor \(\vec v_{1}=(0;-1;1)^T\) passt auch.\(\quad\checkmark\)

Bei den Eigenvektoren zum Eigenwert \(10\) hat dich der Fehlerteufel beraten.

$$\left(\begin{array}{rrr}10 & 0 & 0\\-5 & 13 & -2\\5 & -3 & 12\end{array}\right)\cdot\vec v=10\cdot\vec v\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\begin{array}{rrr}0 & 0 & 0\\-5 & 3 & -2\\5 & -3 & 2\end{array}\right)\cdot\vec v=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Die einzige Bedinung an die Komponenten von \(\vec v=(x;y;z)^T\) lautet:$$5x-3y+2z=0\quad\Longleftrightarrow\quad z=-\frac52\,x+\frac32\,y$$Damit kannst du alle Lösungs-Vektoren \(\vec v\) hinschreiben:$$\vec v=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\-\frac52\,x+\frac32\,y\end{pmatrix}=\frac x2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}2\\0\\-5\end{pmatrix}}_{\eqqcolon\, \vec v_2}+\frac y2\cdot\underbrace{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}_{\eqqcolon\, \vec v_3}$$Der Lösungsraum zum Eigenwert \(10\) ist also 2-dimensional und die beiden gefunden Basisvektoren dieses Lösungsraums sind mögliche (die Wahl ist nicht eindeutig) Eigenvektoren \(\vec v_2\) und \(\vec v_3\).

Damit hast du auch die Matrix \(B\) gefunden:$$B=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & 0\\-1 & 0 & 2\\1 & -5 & 3\end{array}\right)$$Wenn du nachrechnest, kommt raus:$$B^{-1}\cdot A\cdot B=\left(\begin{array}{rrr}15 & 0 & 0\\0 & 10 & 0\\0 & 0 & 10\end{array}\right)$$

Jetzt brauchst du nur noch die Matrizen \(M_B^B(A)\), \(M_B^E(A)\) und \(M_E^B(A)\) zu bestimmen. Versuch das mal alleine. Falls dabei Fragen auftauchen, bitte einfach nochmal hier melden.