Value at Risk der Bank mit Verteilungsfunktion ermittlen

Question

Aufgabe:

Ihr Statistik-Experte hat festgestellt, dass die Verteilung des jährlichen Verlustes näherungsweise beschrieben werden kann durch folgende Verteilungsfunktion F:
$$F(x)=p+(1-p)*exp(-exp(-\frac{x-a}{b}))\quad,\; x\geq 0$$
mit den Parametern p := 0,781086, a := 86625 und b := 70173.

Überlegen Sie sich, wie man mit dieser Verteilungsfunktion den jährlichen Verlust simulieren kann, und erstellen Sie ein EXCEL-Arbeitsblatt mit 100.000 Simulationen. Wie groß ist hier rechnerisch der Value@Risk zum Risikoniveau alpha = 0,1%?

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen, wie würdet ihr an diese Aufgabe rangehen?

Viele Grüße
Marie

Comments

Die Verteilungsfunktion des Verlustes:

Answer 1

wie würdet ihr an diese Aufgabe rangehen?

Ich würde die Gleichung

\(\displaystyle 0,781086+(1-0,781086) \cdot \exp \left(-\exp \left(-\frac{x-86625}{70173}\right)\right) = 0,999 \)

lösen.

Aber es wird ja eine Simulation verlangt.

Comments

Ich glaube, man muss die Verteilungsfunktion in eine Quantilfunktion umwandeln, also die Gleichung = u setzen und dann nach x auflösen.

Dann kann für u geichverteilte Zufallszahlen einsetzten und erhält die gewünschte Simulation.

Ich scheitere gerade an der Aufläsung nach x. Hast du da einen Ansatz?

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Ich scheitere gerade an der Aufläsung nach x. Hast du da einen Ansatz?

\(\displaystyle 0,781086+(1-0,781086) \cdot \exp \left(-\exp \left(-\frac{x-86625}{70173}\right)\right) = 0,999\)

\(\displaystyle \exp \left(-\exp \left(-\frac{x-86625}{70173}\right)\right) = \frac{0,999-0,781086}{1-0,781086} \quad \bigg| \; \ell n\)

\(\displaystyle -\exp \left(-\frac{x-86625}{70173}\right)= \ell n \left(\frac{0,999-0,781086}{1-0,781086}\right) \quad \; \bigg| \; \cdot (-1) \quad \ell n\)

\(\displaystyle -\frac{x-86625}{70173} = \ell n \left( - \ell n \left(\frac{0,999-0,781086}{1-0,781086}\right)\right) \quad \quad \bigg| \; \cdot (-70173) \)

\( x-86625= -70173 \cdot \ell n \left( - \ell n \left(\frac{0,999-0,781086}{1-0,781086}\right)\right) \quad \quad \bigg| \; +86625 \)

\( x=86625-70173 \cdot \ell n \left( - \ell n \left(\frac{0,999-0,781086}{1-0,781086}\right)\right)  \)

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Danke für deine Antwort. Das hat mir sehr geholfen :)