Wenn P[X<q]≤λ ist, dann ist
(1) P[X≥q]≥1−λ,
weil {X<q} und {X≥q} Gegenereignisse sind.
Es ist
(2) P[A]+P[X≥q]=P[A∩{X≥q}]+P[A∪{X≥q}]
laut Additionssatz.
Abschätzung der linken Seite von (2) durch (1) und durch P[A]>λ ergibt
λ+(1−λ)<P[A∩{X≥q}]+P[A∪{X≥q}]
also
(3) 1<P[A∩{X<q}]+P[A∪{X<q}].
Abschätzung der rechten Seite von (3) durch P[A∪{X<q}]≤1 ergibt
(4) 1<P[A∩{X<q}]+1.
Subtraktion von 1 auf beiden Seiten von (4) ergibt
0<P[A∩{X<q}].