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Aufgabe:

Irgendwie sehe ich nicht wieso P[A{Xq}]>0P[A \cap\{X \geq q\}]>0. Kann mir das jemand erklären? Wir befinden uns im Themengebiet Value at Risk.

Proposition 4.47. For each XXX \in X and each λ(0,1)\lambda \in(0,1),
V@Rλ(X)=min{ρ(X)ρV @ R_\lambda(X)=\min \left\{\rho(X) \mid \rho\right. is convex, continuous from above, and V@Rλ}\left.\geq V @ R_\lambda\right\}.
Proof. Let q : =V@Rλ(X)=qX+(λ)q:=-V @ R_\lambda(X)=q_X^{+}(\lambda) so that P[X<q]λP[X<q] \leq \lambda. If AFA \in \mathcal{F} satisfies P[A]>λP[A]>\lambda, then P[A{Xq}]>0P[A \cap\{X \geq q\}]>0. Thus, we may define a measure QAQ_A by

QA : =P[A{Xq}]. Q_A:=P[\cdot \mid A \cap\{X \geq q\}] .


It follows that EQA[X]q=V@Rλ(X)E_{Q_A}[-X] \leq-q=V @ R_\lambda(X).
Let Q : ={QAP[A]>λ}Q:=\left\{Q_A \mid P[A]>\lambda\right\}, and use this set to define a coherent risk measure ρ\rho via

ρ(Y) : =supQQEQ[Y] \rho(Y):=\sup _{Q \in \mathcal{Q}} E_Q[-Y]


Then ρ(X)V@Rλ(X)\rho(X) \leq V @ R_\lambda(X). Hence, the assertion will follow if we can show that ρ(Y)V@Rλ(Y)\rho(Y) \geq V @ R_\lambda(Y) for each YXY \in X. Let ε>0\varepsilon>0 and A : ={YV@Rλ(Y)+ε}A:=\left\{Y \leq-V @ R_\lambda(Y)+\varepsilon\right\}. Clearly P[A]>λP[A]>\lambda, and so QAQQ_A \in Q. Moreover, QA[A]=1Q_A[A]=1, and we obtain

ρ(Y)EQA[Y]V@Rλ(Y)ε. \rho(Y) \geq E_{Q_A}[-Y] \geq V @ R_\lambda(Y)-\varepsilon .


Since $\varepsilon>0$ is arbitrary, the result follows.


Problem/Ansatz:

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Wenn P[X<q]λP[X<q] \leq \lambda ist, dann ist

(1)        P[Xq]1λP[X\geq q] \geq 1-\lambda,

weil {X<q}\{X<q\} und {Xq}\{X\geq q\} Gegenereignisse sind.

Es ist

(2)        P[A]+P[Xq]=P[A{Xq}]+P[A{Xq}]P[A] + P[X\geq q] = P[A\cap \{X\geq q\}] + P[A\cup \{X\geq q\}]

laut Additionssatz.

Abschätzung der linken Seite von (2) durch (1) und durch P[A]>λP[A] > \lambda ergibt

        λ+(1λ)<P[A{Xq}]+P[A{Xq}]\lambda + (1-\lambda) < P[A\cap \{X\geq q\}] + P[A\cup \{X\geq q\}]

also

(3)        1<P[A{X<q}]+P[A{X<q}]1 < P[A\cap \{X<q\}] + P[A\cup \{X<q\}].

Abschätzung der rechten Seite von (3) durch P[A{X<q}]1P[A\cup \{X<q\}] \leq 1 ergibt

(4)        1<P[A{X<q}]+11 < P[A\cap \{X<q\}] + 1.

Subtraktion von 11 auf beiden Seiten von (4) ergibt

        0<P[A{X<q}]0 < P[A\cap \{X<q\}].

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