Beweisfrage im Gebiet Value at Risk

Question

Aufgabe:

Irgendwie sehe ich nicht wieso $$P[A \cap\{X \geq q\}]>0$$. Kann mir das jemand erklären? Wir befinden uns im Themengebiet Value at Risk.

Proposition 4.47. For each $$X \in X$$ and each $$\lambda \in(0,1)$$,
$$V @ R_\lambda(X)=\min \left\{\rho(X) \mid \rho\right.$$ is convex, continuous from above, and $$\left.\geq V @ R_\lambda\right\}$$.
Proof. Let $$q:=-V @ R_\lambda(X)=q_X^{+}(\lambda)$$ so that $$P[X<q] \leq \lambda$$. If $$A \in \mathcal{F}$$ satisfies $$P[A]>\lambda$$, then $$P[A \cap\{X \geq q\}]>0$$. Thus, we may define a measure $$Q_A$$ by

$$ Q_A:=P[\cdot \mid A \cap\{X \geq q\}] . $$


It follows that $$E_{Q_A}[-X] \leq-q=V @ R_\lambda(X)$$.
Let $$Q:=\left\{Q_A \mid P[A]>\lambda\right\}$$, and use this set to define a coherent risk measure $$\rho$$ via

$$ \rho(Y):=\sup _{Q \in \mathcal{Q}} E_Q[-Y] $$


Then $$\rho(X) \leq V @ R_\lambda(X)$$. Hence, the assertion will follow if we can show that $$\rho(Y) \geq V @ R_\lambda(Y)$$ for each $$Y \in X$$. Let $$\varepsilon>0$$ and $$A:=\left\{Y \leq-V @ R_\lambda(Y)+\varepsilon\right\}$$. Clearly $$P[A]>\lambda$$, and so $$Q_A \in Q$$. Moreover, $$Q_A[A]=1$$, and we obtain

$$ \rho(Y) \geq E_{Q_A}[-Y] \geq V @ R_\lambda(Y)-\varepsilon . $$


Since $\varepsilon>0$ is arbitrary, the result follows.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Wenn \(P[X<q] \leq \lambda\) ist, dann ist

(1)        \(P[X\geq q] \geq 1-\lambda\),

weil \(\{X<q\}\) und \(\{X\geq q\}\) Gegenereignisse sind.

Es ist

(2)        \(P[A] + P[X\geq q] = P[A\cap \{X\geq q\}] + P[A\cup \{X\geq q\}]\)

laut Additionssatz.

Abschätzung der linken Seite von (2) durch (1) und durch \(P[A] > \lambda\) ergibt

        \(\lambda + (1-\lambda) < P[A\cap \{X\geq q\}] + P[A\cup \{X\geq q\}]\)

also

(3)        \(1 < P[A\cap \{X<q\}] + P[A\cup \{X<q\}]\).

Abschätzung der rechten Seite von (3) durch \(P[A\cup \{X<q\}] \leq 1\) ergibt

(4)        \(1 < P[A\cap \{X<q\}] + 1\).

Subtraktion von \(1\) auf beiden Seiten von (4) ergibt

        \(0 < P[A\cap \{X<q\}]\).