Zeigen Sie: f ist in (0,0) nicht (total-) differenzierbar.

Question

Aufgabe:

Es sei f: ℝ2 → ℝ gegeben durch

f(x,y) = $\sqrt{x^2+y^2}$ , für y > 0, - $\sqrt{x^2+y^2}$, für y < 0, x, für y = 0.

Zeigen Sie: f ist in (0,0) nicht (total-) differenzierbar.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre folgender:

zeigen, dass f in (0,0) nicht stetig ist, denn dann folgt, dass f in (0,0) nicht total differenzierbar ist.

Wenn ich also die Nullfolge 1/n für x und y einsetze, erhalte ich sqrt(2)/n, und für n -> ∞ würde diese Funktion aber gegen 0 gehen. Somit wäre Sie bei dieser Nullfolge stetig und ich kann das so nicht zeigen.

Hat jemand eine andere Idee?

Answer 1

Bestimmung der partiellen Ableitungen:$$\partial_1f(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim \frac{t}{t}=1\\\partial_2f(0,0)=\lim_{t \to 0}\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\lim \left\{\begin{array}{c}\frac{\sqrt{t^2}}{t} \text{ für } t>0\\-\frac{\sqrt{t^2}}{t} \text{ für } t<0\end{array}\right\}=\lim 1=1$$Wenn $f$ in $(0,0)$ differenzierbar wäre,

dann wäre $df(0,0)(h_1,h_2)=\partial_1 f((0,0))h_1+\partial_2 f((0,0))h_2=h_1+h_2$ und

man hätte $\lim_{h \to 0}\frac{f(h)-df(0,0)(h)}{\|h\|}=0$.

Wir betrachten nun die Folge $h_n=(1/n,1/n)$, dann ist$$\frac{f(h_n)-df(0,0)(h_n)}{\|h_n\|}=1-\sqrt{2}$$aber keine Nullfolge, Widerspruch !

D.h. $f$ ist nicht in $(0,0)$ differenzierbar.

Comments

Dankeschön!!!

Wäre dieser Weg auch in Ordnung?

f(x,0) = x

(x, -1/n) = n->  ∞ = -x

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Wäre dieser Weg auch in Ordnung?

Ich verstehe nicht, was du da machst. Bitte beschreibe
es klar und eindeutig.

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Da x ungleich -x ist müsste die Funktion in (0,0) unstetig sein oder sehe ich das falsch?

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Ja. Das siehst du falsch:

$|f(x,y)|\leq |x|$ für alle $x\in \mathbb{R}$,

also $|f(x,y)|\rightarrow 0$ für $(x,y)\rightarrow (0,0)$

und $f(0,0)=0$,

also ist $f$ stetig in (0,0).

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Warum gilt denn $|f(x,y)|\le|x|$ ?

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Der nicht ganz triviale Teil ist

$\sqrt{x^2+y^2}\leq \sqrt{x^2}=|x|$.

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Das ist in der Tat alles andere als trivial. Für $x=0$ hieße das $\lvert y\rvert\le0$.

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Oh, sorry!

Manchmal ist man sowas von blind.

Das war natürlich Quatsch !

Vielen Dank für die Richtigstellung !

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Also hat für_leon doch recht?

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Nein.

Es ist $|f(x,y)|\leq \sqrt{x^2+y^2}\rightarrow 0$ für $(x,y)\rightarrow (0,0)$

und $f(0,0)=0$. Also ist $f$ in $(0,0)$ stetig.

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Dann müssen wir anders zeigen, dass f nicht total diffbar ist. Also mit deiner allerersten Antwort.

Das zeigt uns dann, dass es nicht unbedingt gelten muss, dass sie unstetig sein muss, wenn sie nicht diffbar ist.

Aber dass gilt, wenn nicht stetig, dann auf jeden fall nicht diffbar.

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Das zeigt uns dann, dass es nicht unbedingt gelten muss, dass sie unstetig sein muss, wenn sie nicht diffbar ist.

Aber dass gilt, wenn nicht stetig, dann auf jeden fall nicht diffbar.

Ja, das ist alles richtig :-)

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Wieso ist bei der Ableitung nach y der zweite Fall nicht -1? - $\frac{t}{t}$ = -1?

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Weil $\sqrt{t^2}=|t|$ ist, und wenn $t<0$ ist, dann ist $-t=|t|$,

so dass da $-|t|/t=|t|/(-t)=|t|/|t|=1$ steht.

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Wenn $t<0$ ist, dann ist der Zähler $\lvert t\rvert$ positiv und der Nenner $t$ negativ. Der Quotient ist dann negativ und kann nicht $1$ sein.

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Im zweiten Fall wird doch der negative Bruch $-\frac{\sqrt{t^2}}{t}$  genommen.

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Stimmt, du hast recht. Lt. Definiton ist f(t,0) = t.