Aufgabe:
Es sei \( \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \) der \( \mathbb{R} \)-Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit reellen Koeffizienten. Wir definieren auf \( \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \) ein Skalarprodukt durch
\( \langle f, g\rangle:=\int \limits_{-1}^{1} f(x) g(x) d x . \)
Sie müssen nicht zeigen, dass 〈, ) ein Skalarprodukt ist. Benutzen Sie das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren, um die Basis
\( e_{0}=1, \quad e_{1}=x, \quad e_{2}=x^{2} \)
in eine Orthonormalbasis \( b_{0}, b_{1}, b_{2} \) von \( \mathscr{P}_{2}(\mathbb{R}) \) umzuformen.
Erinnerung: Die Stammfunktion von \( x^{n} \) ist \( \frac{1}{n+1} x^{n+1} \).
Problem/Ansatz:
Ich weiß wie das Gram schmidt Verfahren funktioniert, nur bin ich bisschen verwirrt wie ich das mit der Stammfunktion machen soll ?
\( \begin{aligned} u_{1}=e_{0}=1 \Rightarrow q_{1} &=\frac{1}{\left\|u_{1}\right\|} u_{1}, \text { Wix wionen, das }\|\cdot\|=\sqrt{\left.L_{\cdot 1} \cdot\right\rangle} \\ &=\frac{1}{\sqrt{\langle 1,1\rangle}} u_{1}=\frac{1}{\sqrt{\int \limits_{-1}^{1} 1 \cdot 1} d_{x}} \cdot u_{1}=\frac{1}{\sqrt{[x]_{-1}^{1}}} u_{1} \\ &=\frac{1}{\sqrt{1-1-1 \mid}} u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} u_{1} \\ \text { somit iol } v_{1}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \)
Bin ich auf dem richtigen Weg ?
