Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Häufungspunkte der Folge \( \left\{x_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} \) gegeben durch
\( x_{n}:=1-2 \cos \left(\frac{n \pi}{2}\right), \quad n \in \mathbb{N}, \)
und nennen Sie jeweils eine Teilfolge, die gegen den entsprechenden Häufungspunkt konvergiert.

Answer 1

Aloha :)

Für die Cosinus-Funktion gilt:$$\cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\left\{\begin{array}{cl}0 & \text{falls \(n\) ungerade}\\(-1)^{n/2} & \text{falls \(n\) gerade}\end{array}\right.$$

Daher gilt für die Folge \((x_n)\):$$x_n=1-2\cos\left(n\,\frac\pi2\right)=\cos\left(n\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\left\{\begin{array}{cl}1 & \text{falls \(n\) ungerade}\\1-2\cdot(-1)^{n/2} & \text{falls \(n\) gerade}\end{array}\right.$$

Damit hat die Folge \((x_n)\) drei Häufungspunkte:$$x_1=1\quad;\quad x_2=1-2=-1\quad;\quad x_3=1+2=3$$

Comments

Dankeschön :)

Answer 2

Berechne die ersten 6 Glieder, dann weißt du Bescheid.