graph einer Polynomfunktion

Question

Der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades hat an der Stelle -4 eine Wendestelle. An der Stelle -6 berührt der Graph von f die x-Achse. die Steigung der Tangente an der Stelle -1 ist 5. bestimme die Funktionsgleichung.

Answer 1

Benutze http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle

Eigenschaften

f''(-4) = 0
f(-6) = 0
f'(-6) = 0
f'(-1) = 5

Gleichungssystem

-24a + 2b = 0
-216a + 36b - 6c + d = 0
108a - 12b + c = 0
3a - 2b + c = 5

Funktion

f(x) = 1/3·x^3 + 4·x^2 + 12·x

Skizze

~plot~ 1/3x^3+4x^2+12x;[[-8|2|-12|2]] ~plot~

Comments

f(-6) = 0
f'(-6) = 0

wieso haben wir hier -6 zweimal verwendet? also einmal abgeleitet und einmal nicht

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Weil der Funktionswert dort 0 sein muss.

Weil der Anstieg dort 0 sein muss.

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wieso haben wir hier -6 zweimal verwendet? also einmal abgeleitet und einmal nicht

Die x-Achse wird berührt. Hat also den gleichen Funktionswert und die gleiche Steigung wie die x-Achse.

Answer 2

"Der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades hat an der Stelle -4 eine Wendestelle. An der Stelle -6 berührt der Graph von f die x-Achse. Die Steigung der Tangente an der Stelle -1 ist 5. bestimme die Funktionsgleichung."

\(f(x)=a*[(x+6)^2*(x-N)]\)

\(f´(-1)=5\)

\(f´´(-4)=0\)

Answer 3

Das Polynom dritten Grades sieht so aus $$ p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d $$ Du hast 4 Bedingungen an dieses Polynom, einsetzen in das Polynom gibt 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Das LGS lösen ergibt die Koeefizienten \( a, b, c, d\)