Laurentreihe, Entwicklung, Ringgebiet, Ringintegral

Question

Für die folgende Aufgabe zur Laurentreihe brauche ich Hilfe.

(a) Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von f.

(b) Bestimmen Sie eine Laurent-Entwicklung von f um z_0=0, die in z=2 konvergent ist.

(c) Welches ist das maximale Ringgebiet r<|z|<R, indem die Reihe konvergiert?

(d) Berechnen Sie \( \oint_{|z|=2} f(z) d z \)

\( f=\frac{4 z}{(z-1)(z+3)} \)

Die (a) habe ich bereits gelöst: \( f(z)=\frac{1}{z-1}+\frac{3}{z+3} \)

Bei der (b) könnte das hier das Endergebnis sein: \( \sum \limits_{k=-\infty}^{\infty} a_{k} z^{k} \) mit \( a_{k}=\left\{\begin{array}{ll}1 & k<0 \\ (-1)^{k} \cdot 3^{-(k+1)} & k \geq 0\end{array}\right. \)

Bei der (c) vielleicht das: 1<|z|<3

Und bei der (d) sollte 2pi*i rauskommen.

Leider ist es mir mit den Endergebnissen nicht gelungen, die Aufgabe zu lösen. Ich bin auf euren Input gespannt.

Comments

Bei Deiner Reihenentwicklung sehe ich nur ein \(3^{-k}\).

Ansonsten scheint mir alles richtig.

Willst / kannst Du bei d den Residuensatz oder die Cauchy Integralformel verwenden?

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Residuensatz oder Cauchy ist egal, dürfen wir beides benutzen.

Ich habe leider keine Rechenwege und verstehe es auch nicht, kannst du erläutern, wie vorzugehen ist? Insbesondere die (b) und (c) wären mir wichtig.

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a) ist gut

b)

$$ \frac{3}{z+3} = \frac{1}{1-(-\frac{z}{3})} = \sum_{k=0}^\infty (-\frac{z}{3})^k $$

für |-z/3|<1 also insb |z| < 3 (Geometrische Reihe)

Der andere Summand ist

$$ \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}} = \frac{1}{z} \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{z})^k $$

für |1/z| < 1 also insb 1 < |z|

sollte also 3^(-k) sein und nicht -(k+1). Der Rest stimmt.

c) siehe oben: 1 < |z| < 3

d) Residuensatz:

Zähler hat Nst 0:

Nenner hat Nst 1 und -3

=> Pole 1. Ordnung in 1 und -3.

1 liegt im Kreis und hat Umlaufzahl 1, 3 liegt außerhalb des Kreis und folglich Umlaufzahl 0.

Residuum in 1 (Pol 1 Ordnung!) ist gerade \( \lim_{z\to 1} (z-1)f(z) = \frac{4\cdot 1}{1 + 3} = 1 \)

vgl https://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie)

Also ist das Ergebnis \( 2\pi \textrm i( 1 \cdot 1 + 0 \cdot \operatorname{Res}_3(f)) = 2\pi \textrm i \)

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Die Residuen an den Polen lassen sich unmittelbar aus der
Partialbruchzerlegung ablesen:

\(1\cdot(z-1)^{-1}+3\cdot(z-(-3))^{-1}=\)

\(=Res_1(f)\cdot (z-1)^{-1}+Res_{-3}(f)(z-(-3))^{-1}\),

also \(Res_1(f)=1,\; Res_{-3}(f)=3\)

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Ihr seid Gold wert!!
Vielen Dank für eure Hilfe, habe es geblickt

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Nochmal eine kurze Frage,wo wurde "in z=2 konvergent" benutzt?

Für mich sieht es so aus, als ob dies gar keine Rolle spielt, was bedeutet das?

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Du brauchst eine Laurent-Reihe um 0

Da f bei 1 und -3 Singularitäten hat gibt es da 3 Stück mit unterschiedlichen Konvergenzbereichen.

Eine konvergiert für 0<|z|<1

Die andere für 1<|z|<3

Die dritte für 3<|z|<∞

Und alle sehen unterschiedlich aus.

Laurent-Reihen konvergieren immer auf so Ringgebieten um den Entwicklungspunkt. Und diese Ringgebiete kannst du so lange aufblasen bist du auf ne Singularität triffst.

Wenn du eine Laurent-Reihe um 0 suchst die in 2 konvergiert, wird diese auf 1<|z|<3 konvergieren. Weil du den Ring der 2 enthält aufblasen kannst bis der innere Kreis die Singularität in 1 und der äußere die in -3 berührt.

Versuche doch mal als Übung eine Laurent-Reihe zu bestimmen die in z=0.5 konvergiert. Dann wirst feststellen dass das tatsächlich einen Einfluss hat

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Hier mal für reelle Zahlen geplottet. Die Laurent-Reihe (Näherung!) für 1<|z|<3

Und jetzt die für |z|<1:

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Was mir nicht klar ist, was ich anders rechnen muss. Die Partialbruchzerlegung sollte ich ja noch benutzen können. Wie ist nun vorzugehen/ Was muss ich hab hier anders machen als beim obigen Beispiel (b) ?

Ich muss doch immer noch die beiden Brüche in eine Laurentreihe entwickeln, was ist dort anders?

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1/(1-q) = ∑ q^n gilt nur für |q|<1

Der Schritt

$$ \frac{1}{z-1} = \frac{1}{z} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{z}} = \frac{1}{z} \sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{z})^k $$

von oben funktioniert also nur wenn |z|>1 und nicht für |z|<1

Für |z|<1 gilt stattdessen

$$ \frac{1}{z-1} = - \frac{1}{1-z} = - \sum_{k=0}^\infty z^k $$ 

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D.h. im zweifel forme ich den Bruch zweimal in eine Laurentreihe, und schaue dann, welche dazu passt, damit sie in dem vorgegebenen Punkt konvergiert.

Danke, die Rechnung konnte ich nachvollziehen.

Ich habe soeben versucht, die Laurentreihe zu entwickeln, welche in z=4 konvergiert. Habe ich das richtig gemacht?

\( \frac{3}{z+3}=\frac{3}{z}=\frac{3}{z} \cdot \frac{1}{1-\frac{3}{z}}=\frac{3}{z} \cdot \sum \limits_{k=0}^{\infty}\left(\frac{3}{z}\right)^{k} \)
konv. für \( \left|\frac{3}{z}\right|<1 \Leftrightarrow 3<z \)

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Bei dir wird aus einem + versehentlich ein -

Beachte dass + 3/z = - ( -3/z )