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Der Normalenvektor der Ebene lautet:$$\vec n=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\implies\vec n_0=\frac{1}{\sqrt6}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}$$
Den Fluss berechnen wir, indem wir das Geschwindigkeitsfeld \(\vec v=(2;0;3)^T\) in einen Anteil \(\vec v_\parallel\) parallel und einen Anteil \(\vec v_\perp\) senkrecht zu \(\vec n_0\) zerlegen. Weil das Skalarprodukt orthogonaler Vektoren verschwindet, geht nur der Anteil \(\vec v_\parallel\) in die Rechnung ein:
$$\phi=\left|\int\limits_K\vec v\,d\vec F\right|=\left|\int\limits_K\vec v\,\cdot\vec n^0\,dF\right|=\left|\int\limits_K\left(\vec v_{\parallel}+\vec v_{\perp}\right)\cdot\vec n^0\,dF\right|=\left|\int\limits_K\vec v_{\parallel}\cdot\vec n^0\,dF\right|$$$$\phantom\phi=\left|\int\limits_K\underbrace{(\vec v\cdot\vec n^0)\cdot\vec n^0}_{=\vec v_\parallel}\cdot\vec n^0\,dF\right|=\left|\int\limits_K\underbrace{(\vec v\cdot\vec n^0)}_{=\text{const}}\cdot\underbrace{(\vec n^0)^2}_{=1}\,dF\right|=\left|\vec v\cdot\vec n_0\right|\cdot\int\limits_KdF$$
Die Kreisfläche ist \(F=\pi\cdot3^2=9\pi\) und die Projektion beträgt:$$\left|\vec v\cdot\vec n_0\right|=\frac{1}{\sqrt6}\left|\begin{pmatrix}2\\0\\3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\\1\\1\end{pmatrix}\right|=\frac{1}{\sqrt6}$$
Damit haben wir den Betrag des Flusses ermittelt:$$\phi=\frac{1}{\sqrt6}\cdot9\pi=\frac{3\sqrt6}{2}\,\pi$$
