Extrema mit Nebenbedingung, Lagrange

Question

Aufgabe:

f(x,y) = x*y

g(x,y) = x²+y² = 0

Extrema bestimmen.

Ansatz:

L(x,y,k) = x*y + k(x²+y²)

Lx = y + 2xk (1)

Ly = x + 2yk (2)

(1) * y - (2) * x = y² -x² = 0 => y = x in Nebenbedingung g: 2x² = 0 => x = 0

P(0,0) mMn. einziges mögliches Extrema.

Der Prof macht es ganz anders im Skript und hat irgendwie 4 mögliche Extrema raus....

Was sagt ihr?

Comments

Hahaha auch in der Prüfungsphase?

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Ja, Donnerstag Klausur.

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Ich vermute, die Aufgabenstellung hat einen Druckfehler

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Da steht g nur als x² + y² ,

Ohne = 0....

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Macht auch keinen Sinn, Druckfehler

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Ein fleißiger/kluger Schüler nimmt einfach die Kreisgleichung

x² + y² = r²

als offensichtliche Möglichkeit und berechnet dann die Extrema in Abhängigkeit von r.

Man kann sich auch für r zunächst beliebige Zahlen (natürlich > 0) einsetzen.

PS: Beim Stellen einer Aufgabe hier im Forum rate ich immer dazu, den Aufgabentext im Original einzustellen und nicht eigenmächtig etwas hinzuzufügen. Ein hinzugefügtes "= 0" wie in diesem Fall reduziert die Menge auf einen einzigen Punkt, mal vorausgesetzt wir arbeiten nicht in der komplexen Zahlenebene. Und das wäre der schlecht möglichste Fall, den man selber ergänzen kann. Es sei denn man will eine triviale Aufgabe haben, bei der man eh gleich erkennen kann, dass dann das Extremum der einzig mögliche Punkt ist.

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Entschuldigug und dankeschön. Wie gehe ich vor, wenn ich diese Kreisgleichung als Funktion für g habe?

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Du hast doch schon ähnliche Aufgaben hier gelöst bekommen. Willst Du es nicht mal selbst versuchen?

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Doch, du hast recht. Sonst lerne ich es nicht und ich hab am Donnerstag die Prüfung!

Aber erstmal habe ich jetzt ein digitales Vorstellungsgespräch, danach gehts direkt an die Aufgabe :-)

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Ich habe dann folgendes gerechnet:

(1) * y - (2) * x <=> y² - x² = 0  <=> y² = x² <=> y = x

in NB: x² + y² - r² <=> x² + x² - r² = 0 <=> 2x² = r² <=> x² = r²/2 <=> x1 = r/$\sqrt{2}$, x2 = - r/$\sqrt{2}$

in y = x:

P1( r/$\sqrt{2}$, r/$\sqrt{2}$)

P2( r/$\sqrt{2}$, -r/$\sqrt{2}$)

P3( -r/$\sqrt{2}$, r/$\sqrt{2}$)

P4 ( -r/$\sqrt{2}$, -r/$\sqrt{2}$)

so korrekt?

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Habe gerade mit dem Skript verglichen, das ist richtig! Cool.

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Wenn du aufschreibst

y² = x²  <=>  y = x

kann und wird das sicher gleich durch Punktabzug geahndet.

Das x = y nicht immer sein muss, kannst du ja auch an den Lösungen erkennen.

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Also wäre es so richtig? x = -y oder +y und y = + x oder - x?

Answer 1

Aloha :)

Nunja, die Nebenbedingung $(g(x;y)=x^2+y^2=0)$ wird nur vom Punkt $(0|0)$ erfüllt. Es ist ein Kreis mit Radius $0$.

Daher hat die Funktion $f(x;y)=x\cdot y$ unter der Nebenbedingung nur einen einzigen Wert, nämlich $f(0;0)=0$.

Das kannst du nun interpretieren, wie du möchtest. Es ist das globale Maximum und das globale Minimum zugleich.