Bestimmen Sie die Jacobi-Matrizen von f und g an einer beliebigen Stelle.

Question

Guten Morgen, können Sie mir bitte Aufgabe 1 Jacobi-Matrix von f erklären? Ich weiß, wie man Jacobi-Matrix rechnet aber diese Aufgabe hat mich fertig gemacht. Ich verstehe nicht, wie man auf x/(die Wurzel von 1-r^2)^3 kommt! Und wie rechnet man hier überhaupt die Ableitung, dass man hier 3×3 Spalten hat.

Bitte helfen Sie mir weiter!!!

Text erkannt:

Aufgabe A.11.1 (Jacobi-Matrizen)
Gegeben seien die Funktionen \( f: D \rightarrow \mathbb{R}^{3}, g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) mit
\( \begin{array}{l} f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{1-r^{2}}}(x, y, z)^{T} \text { mit } D:=\left\{(x, y, z)^{T} \mid r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}<1\right\} \subset \mathbb{R}^{3}, \\ g(u, v)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}} e^{u} \sin v, \frac{1}{\sqrt{2}} e^{u} \cos v, u v\right)^{T} . \end{array} \)
Bestimmen Sie die Jacobi-Matrizen von \( f \) und \( g \) an einer beliebigen Stelle. Berechnen Sie außerdem die Jacobi-Matrix von \( f \circ g \) an der Stelle \( \left(0, \frac{\pi}{4}\right)^{T} \).

Text erkannt:

\( f: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} \quad g: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \)
mit \( f(x, y, z)=\frac{1}{\sqrt{1-r^{2}}}(x, y, z)^{\top} \quad D=\left\{(x, y, z)^{\top} \mid r=\sqrt{x^{2}+y^{2} z z^{2}}<1\right\} \subset \mathbb{R} \mathbb{R}^{3} \)
\( g(u, v)=\left(\frac{1}{2} e^{u} \sin v, \frac{1}{\sqrt{2}} e^{u} \cos v, u v\right)^{\top} \)
Berchure die Jacobi-Matrix von fig und fog
- zunachst berechne of \( (x, y, z) \) weym
\( \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\sqrt{1-r^{2}}}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}-y^{2}-z^{2}}}\right)=\frac{x}{\left(\sqrt{1-r^{2}}\right)^{3}} \), etc.
\( \partial f(x, y, z)=\frac{1}{\left(\sqrt{1-r^{2}}\right)^{3}} \cdot\left(\begin{array}{ccc}1-y^{2}-z^{2} & y x & z x \\ x y & 1-x^{2} z^{2} & z y \\ x z & y z & 1-x^{2} y^{2}\end{array}\right) \)
\( \operatorname{dg}(u, v)=\left(\begin{array}{cc}1 / \sqrt{2} \cdot e^{u} \sin v & 1 / \sqrt{2} e^{u} \cos v \\ 1 / \sqrt{2} e^{u} \cos v & -1 / \sqrt{2} e^{u} \sin v \\ v & u\end{array}\right) \)
Fur dic stelle \( \left(0, \frac{\pi}{4}\right)^{\top} \) folgt mit \( g\left(0, \frac{\pi}{4}\right)=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)^{\top} \) und der kettennged
\( \partial \log \left(0, \frac{\pi}{4}\right)=\partial f\left(g\left(0, \frac{\pi}{4}\right)\right) \cdot \partial g\left(0, \frac{\pi}{4}\right) \)
\( =\sqrt{8} \cdot\left(\begin{array}{ccc}3 / 4 & 1 / 4 & 0 \\ 1 / 4 & 3 / 4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 / 2\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}1 / 2 & 1 / 2 \\ 1 / 2 & -1 / 2 \\ 1 / 4 & 0\end{array}\right)=\sqrt{8} \cdot\left(\begin{array}{cc}1 / 2 & 1 / 4 \\ 1 / 2 & -1 / 4 \\ \pi / 8 & 0\end{array}\right) \)

Comments

Keiner hilft mir weiter? :/

Answer 1

Aloha :)

Jacobi-Matrix von \(f\)$$f(x;y;z)=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$

Um später die Kettenregel durchgehend verwenden zu können, betrachte zunächst:$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left((x^2+y^2+z^2)^{\frac12}\right)=\frac12(x^2+y^2+z^2)^{-\frac12}\cdot2x=\frac xr$$Analog werden die beiden anderen partiellen Ableitungen gebildet, sodass:$$\frac{\partial r}{\partial x}=\frac xr\quad;\quad \frac{\partial r}{\partial y}=\frac yr\quad;\quad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac zr$$

Wir bestimmen nun den Gradienten der ersten Komponentenfunktion:$$f_1(x;y;z)=x\left(1-r^2\right)^{-\frac12}$$Zuerst leiten wir mit der Produktregel nach \(x\) ab:$$\frac{\partial f_1}{\partial x}=\frac{\partial x}{\partial x}\cdot(1-r^2)^{-\frac12}+x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\left((1-r^2)^{-\frac12}\right)$$Für die Ableitung des zweiten Terms brauchen wir die Kettenregel:$$\phantom{\frac{\partial f_1}{\partial x}}=(1-r^2)^{-\frac12}+x\cdot\left(-\frac12(1-r^2)^{-\frac32}\cdot(-2r)\cdot\frac{\partial r}{\partial x}\right)$$$$\phantom{\frac{\partial f_1}{\partial x}}=(1-r^2)^{-\frac12}+xr(1-r^2)^{-\frac32}\cdot\frac xr=(1-r^2)^{-\frac32}\cdot\left((1-r^2)+x^2\right)=\frac{1-y^2-z^2}{(1-r^2)^\frac32}$$

Die Ableitungen nach \(y\) und \(z\) sind einfacher, weil beide Variablen nur in \(r\) vorkommen. Wir machen die Ableitung nach \(y\) ausführlich und starten mit der Kettenregel:$$\frac{\partial f_1}{\partial y}=x\cdot\frac{\partial}{\partial y}\left((1-r^2)^{-\frac12}\right)=x\cdot\left(-\frac12(1-r^2)^{-\frac32}\cdot(-2r)\cdot\frac{\partial r}{\partial y}\right)$$$$\phantom{\frac{\partial f_1}{\partial y}}=xr\cdot(1-r^2)^{-\frac32}\cdot\frac yr=\frac{xy}{(1-r^2)^{\frac32}}$$

Die Ableitung nach \(z\) ist entsprechend \(\left(\frac{\partial f_1}{\partial z}=\frac{xz}{(1-r^2)^{\frac32}}\right)\) und wir haben den Gradienten der ersten Komponentenfunktion \(f_1\) gefunden. Die Gradienten der beiden anderen Komponenten folgen aus der Symmetrie:$$\operatorname{grad}f_1(x;y,z)=\frac{1}{(1-r^2)^\frac32}\begin{pmatrix}1-y^2-z^2\\xy\\xz\end{pmatrix}$$$$\operatorname{grad}f_2(x;y;z)=\frac{1}{(1-r^2)^\frac32}\begin{pmatrix}yx\\1-x^2-z^2\\yz\end{pmatrix}$$$$\operatorname{grad}f_3(x;y;z)=\frac{1}{(1-r^2)^\frac32}\begin{pmatrix}zx\\zy\\1-x^2-y^2\end{pmatrix}$$

Die Jacobi-Matrix enhält die Gradienten der Komponentenfunktionen als Zeilen:$$J_f(x;y;z)=\frac{1}{(1-r^2)^{\frac32}}\begin{pmatrix}1-y^2-z^2 & xy & xz\\yx & 1-x^2-z^2 & yz\\zx & zy & 1-x^2-y^2\end{pmatrix}$$

Jacobi-Matrix von \(g\)$$g(u;v)=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}e^u\sin v\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}e^u\cos v\\[1ex]uv\end{pmatrix}$$

Auch hier brauchen wir wieder die Gradienten der Komponentenfunktionen:$$\operatorname{grad}g_1(u;v)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{1}{\sqrt2}e^u\sin v\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{\sqrt2}e^u\sin v\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}e^u\sin v\\[1ex]\frac{1}{\sqrt2}e^u\cos v\end{pmatrix}$$$$\operatorname{grad}g_2(u;v)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{1}{\sqrt2}e^u\cos v\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial v}\left(\frac{1}{\sqrt2}e^u\cos v\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt2}e^u\cos v\\[1ex]-\frac{1}{\sqrt2}e^u\sin v\end{pmatrix}$$$$\operatorname{grad}g_3(u;v)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial u}\left(uv\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial v}\left(uv\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v\\u\end{pmatrix}$$

Diese Gradienten tragen wir als Zeilenvektoren in die Jacobi-Matrix ein:$$J_g(u;v)=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}e^u\sin v & e^u\cos v\\e^u\cos v & -e^u\sin v\\\sqrt2\,v & \sqrt2\,u\end{pmatrix}$$

Jacobi-Matrix von \((f\circ g)\) an der Stelle \((0\big|\frac\pi4)\)$$J_{f\circ g}\left(0;\frac\pi4\right)=J_f\left(g\left(0;\frac\pi4\right)\right)\cdot J_g\left(0;\frac\pi4\right)=J_f\left(\frac12;\frac12;0\right)\cdot J_g\left(0;\frac\pi4\right)$$$$\phantom{J_{f\circ g}\left(0;\frac\pi4\right)}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\1 & 3 & 0\\0 & 0 & 2\end{pmatrix}\cdot\frac14\begin{pmatrix}2 & 2\\2 & -2\\\pi & 0\end{pmatrix}=\frac{1}{4\sqrt2}\begin{pmatrix}8 & 4\\8 & -4\\2\pi & 0\end{pmatrix}=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}2 & 1\\2 & -1\\\frac\pi2 & 0\end{pmatrix}$$

Comments

Vielen vielen Dank für deine schöne erklärung :)

Das war sehr hilfreich!!