Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der e-Funktion

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion:

f(x,y) = x*e^{-(x^2+y^2)}

Problem/Ansatz:

f(x,y) = x*e^{-x^2-y^2}

fx = -2x² * e^{-x^2-y^2} + e^{-x^2-y^2}

fy = -2yx * e^{-x^2-y^2}

Ich nehme nun die zweite Gleichung und setze sie gleich 0:

-2yx * e^{-x^2-y^2} = 0

Ist es nun korrekt, dass ich die e-Funktion problemlos eliminieren kann, indem ich auf beiden Seiten durch diese e-Funktion teile? Wenn sie nie null werden kann, dann darf ich auch 0/e teilen, und es ist eliminiert.

Also habe ich dann: -2yx = 0

Mit dem gleichen Prinzip kan ich die -2 auch eliminieren.

Dann habe ich entweder y = 0 oder x = 0.

Für x = 0 in die erste Gleichung fx erhalte ich 1*e^{-y^2} = 0

Aber die E-Funktion kann niemals null werden, also ist diese Lösung ungültig. Keine Lösung.

Nun für y = 0 in fx: -2x² * e^{-x^2} + e^{-x^2} = 0

-2x² * e^{-x^2} = -e^{-x^2}

-2x² = - 1

x² = 1/2

x1 = 1/sqrt(2)

x2 = - 1/sqrt(2)

Also 2 mögliche Extrempunkte: (0, x1), (0, x2).

(Ich lerne jetzt mal noch die Potzenzgesetze, es ist allerhöchste Zeit dafür)

Comments

x1 = 1/sqrt(2)

x2 = - 1/sqrt(2)



Also 2 mögliche Extrempunkte: (0, x1), (0, x2).

Du bist doch gerade bei der Abarbeitung des Falls y=0.

Damit ist diese 0 die ZWEITE Koordinate des jeweiligen möglichen Extrempunktes.

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Na klar, sorry! (x1,0), (x2,0)

Answer 1

\( f(x, y)=x \cdot e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=\frac{x}{e^{x^{2}+y^{2}}} \)
\( \frac{d f(x, y)}{d x}=\frac{1 \cdot e^{x^{2}+y^{2}}-x \cdot e^{x^{2}+y^{2}} \cdot 2 x}{\left(e^{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}}=\frac{1-2 x^{2}}{e^{x^{2}+y^{2}}} \)
\( \frac{d f(x, y)}{d y}=\frac{0 \cdot e^{x^{2}+y^{2}}-x \cdot e^{x^{2}+y^{2}} \cdot 2 y}{\left(e^{x^{2}+y^{2}}\right)^{2}}=-\frac{2 x y}{e^{x^{2}+y^{2}}} \)
\( 1-2 x^{2}=0 \rightarrow \rightarrow x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}} \) oder \( x_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}} \)
\( -2 x y=0 \rightarrow \rightarrow x \cdot y=0 \rightarrow \rightarrow y_{1}=0 \) oder \( y_{2}=0 \)
1.) \( f\left(\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot e^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2 e}} \)
2.) \( ) f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}} \mid 0\right)=-\frac{1}{\sqrt{2 e}} \)

Answer 2

f(x, y) = x·e^(- (x^2 + y^2))

f'x(x, y) = e^(- x^2 - y^2)·(1 - 2·x^2)

f'y(x, y) = e^(- x^2 - y^2)·(- 2·x·y)

Wenn du jetzt die Ableitungen null setzt vermeide das das du sagst du teilst durch e. Nach dem Satz vom Nullprodukt muss wenigstens ein Faktor Null werden. Da die e-Funktion Nie null wird kann es also nur die Klammer sein.

1 - 2·x^2 = 0 --> x = - √2/2 ∨ x = √2/2

(- 2·x·y) = 0

Hier können wir schon das bekannte x einsetzen. Und auch hier argumentiert man mit dem Satz vom Nullprodukt. y ist also der einzige Faktor hier der überhaupt Null werden kann. Also muss y = 0 sein.

(- 2·(± √2/2)·y) = 0 → y = 0

Comments

Warum soll ich vermeiden, dass ich sage, dass ich durch e teile? darf man das nicht?

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Doch wie gesagt darfst du dadurch teilen weil der Faktor nicht 0 werden kann. Aber normal ist der Satz vom Nullprodukt hier die erste Wahl. Dabei können Faktoren ja auch ruhig gleich Null werden.

Das darfst du also eh immer machen.