Was ist der Unterschied zwischen einer Basis und einer geordneten Basis?

Question

Aufgabe:

Was ist der Unterschied zwischen einer Basis und einer geordneten Basis?

Problem/Ansatz:

Moin, ich hatte bei einer Aufgabe zwei basen gegeben und sollte diese zu einer Basis für Q^3 ergänzen. Nun soll ich diese Basis noch einmal explizit als geordnete Basis angeben.

Meine Frage wäre nun, dass der Unterschied zwischen einer Basis und einer geordneten Basis ist. Die Ergänzung habe ich gefunden, bloß habe ich noch nicht so ganz verstanden, wie ich die geordnete Basis bestimmen. Würde mich freuen, wenn jemand eventuell mit einem Beispiel oder so den Unterschied erklären könnte.

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ich hatte bei einer Aufgabe zwei basen gegeben

Interessant. Waren es zwei Basen oder zwei Basiselemente (= Basisvektoren)?

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Basisvektoren

Answer 1

Aloha :)

Eine Basis eines Vektorraums \(V\) ist eine Menge von linear unabhängigen Vektoren (ebenfalls aus \(V\)), aus deren Linearkombinationen man alle Vektoren aus \(V\) bilden kann. Die Reihenfolge, in der diese Vektoren genannt werden, spielt keine Rolle:$$\operatorname{Basis}(V)=\pink{\{}\vec b_y,\vec b_z, \vec b_x\pink{\}}$$

Ein Vektor \(\vec v\in V\) wäre nun z.B.:$$\vec v=3\cdot \vec b_y+5\cdot\vec b_z+2\cdot\vec b_x$$

Wenn man zur Darstellung von \(\vec v\in V\) die Komponentenschreibweise verwenden möchte, muss man eine bestimmte Reihenfolge der Basisvektoren festlegen. Das ist dann eine geordnete Basis. Wir könnten die Basisvektoren z.B. so anordnen:$$\operatorname{Basis}(V)=\pink(\vec b_x,\vec b_y,\vec b_z\pink)$$Beachte, dass wir nun runde Klammern \(\pink(\cdots\pink)\) verwendet haben, um anzudeuten, dass die Reihenfolge entscheidend ist. Unseren Vektor \(\vec v\) von oben können wir nun bezüglich der geordneten Basis als Komponentenvektor schreiben:$$\vec v=\begin{pmatrix}2\\3\\5\end{pmatrix}_{\!\!V}$$Durch die festgelegte Reihenfolge der Basisvektoren ist nun klar, welche Komponente zu welchem Basisvektor gehört.

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Danke dir, hast es sehr verständlich erklärt!

Answer 2

Eine Basis ist eine Menge von Basiselementen, eine geordnete Basis ist eine Folge von Basiselementen ohne Wiederholungen.

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Hättest du eventuell ein Beispiel?

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Ja, nimm die linear unabhängigen Vektoren \(b_1\), \(b_2\) und \(b_{meins}\) aus \(\mathbb{Q}^3\). Dann ist die Menge \(\left\{b_1,\:b_2,\:b_{meins}\right\}\) eine Basis und die Folge \(\left(b_1,\:b_2,\:b_{meins}\right)\) eine geordnete Basis von \(\mathbb{Q}^3\).

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Wie viele Möglichkeiten gibt es den eine Basis als eine geordnete Basis anzugeben? Kann dann jede Basis eine Geordnete basis sein?

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Bleiben wir mal bei dem angeführten Beispiel. Zur Basis \(\left\{b_1,\:b_2,\:b_{meins}\right\}\) gibt es die geordneten Basen \(\left(b_1,\:b_2,\:b_{meins}\right)\), \(\left(b_1,\:b_{meins}\:b_2\right)\), \(\left(b_2,\:b_1,\:b_{meins}\right)\), \(\left(b_2,\:b_{meins},\:b_1\right)\), \(\left(b_{meins},\:b_1,\:b_2\right)\) und \(\left(b_{meins},\:b_2,\:b_1\right)\). Also sechs.