Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vierten Grades, deren Graphen symmetrisch zur y-Achse sind und in …

Question

Aufgabe:

Bestimmen sie alle ganzrationalen Funktionen vierten Grades, deren Graphen symmetrisch zur y-Achse sind und in H(2/2) einen Hochpunkt besitzen:

Problem/Ansatz:

Achsensymetrisch zur y-Achse: f(x)=ax^4 + cx^2 +e

Hochpunkt: f‘(2)=0

—> 24a+4c=0

f(2)=2

—> 16a+4c+e=2

Weiter komme ich leider nicht. Ich bin mir unsicher wie ich die dritte Gleichung finde.

Answer 1

Außer das die erste Ableitung die Gleichung $$ 32a + 4c = 0   $$ ergibt, bist Du fertig. Du kannst die Koeffizienten \( a \) und \( c \) in Abhängigkeit von \( e \) darstellen. Dann hast Du alle Funktionen gefunden, die die genannten Bedinunggen erfüllen. Es gibt also einen Freitsgrad, nämlich jenachdem wie Du \( e \) wählst und nicht eine Eindeutige Lösung.

Answer 2

Hallo,

gesucht ist eine Kurvenschar, d.h. es gibt nicht nur eine Lösung.

f(x)=ax^4+cx²+e

f'(x)=4ax³+2cx

f''(x)=12ax²+2c

H(2|2) ist Kurvenpunkt → 16a+4c+e=2    (1)

H(2|2) Hochpunkt → 32a+4c=0     (2)

und 48a+2c<0      (3)

(2) → c=-8a

(3) → 48a-16a=32a<0 → a<0

(1) → 16a-32a+e=2 -->  e=16a+2

Also f(x)=ax^4-8ax²+16a+2 mit a<0.

Eine Überprüfung mit desmos zeigt, dass die Lösung stimmt.

:-)

PS:

Wenn du den Funktionsterm in abakus' Lösung ausmultiplizierst, erhältst du meinen Lösungsterm.

Answer 3

Die um 2 Einheiten nach unten verschobene Funktion g(x)=f(x)-2 hätte die Berührpunkte mit der x-Achse (2|0) und (-2|0) und somit die Gleichung g(x)=a(x-2)²(x+2)².

Damit die Berührung von unten erfolgt muss a<0 gelten.

Die Gleichung für f ist somit f(x)=a(x-2)²(x+2)²+2.