Berechnen Sie das Kurvenintegral direkt.

Question

Hey Leute,

ich brauche ein wenig Hilfe bei dieser Aufgabe. Es geht hier um die Berechnung eines Kurvenintegrals:

Betrachten Sie das Kurvenintegral

\( \int_{γ}^{} \left(\begin{array}{rr} x^{2} + y \\ x - y^{2} \end{array} \right) \cdot dx\)

entlang der ebenen Kurve γ mit \( y= x^{2} \) von P1(1, 1) nach P2(2, 4).
(a) Berechnen Sie das Kurvenintegral direkt.

Wie hat man das  \( \left(\begin{array}{rr} t\\ t^{2} \end{array} \right) \)  berechnent:

    \( γ=   \left(\begin{array}{rr} t\\ t^{2} \end{array} \right)  \cdot dx \)

\( γ'=  \int_{γ}^{} \left(\begin{array}{rr} 1\\ 2  \end{array} \right)  \cdot dx \)

Außerdem frag ich mich wie man auf das Intervall bzw. die Grenzen gekommen ist:

\(1  \leq t \leq 2\)

\( \int_{γ}^{} F' dx= \int_{a}^{b} F (γ(t)) \cdot  γ' dt= \int_{1}^{2} \left(\begin{array}{rr} t^{2} + t^{2} \\ t- t^{2} \end{array} \right) \cdot   \left(\begin{array}{rr} 1 \\ 2t \end{array} \right)   \)

Comments

\(\int_{γ}^{} \left(\begin{array}{rr} x^{2} + y \\ x - y^{2} \end{array} \right) \cdot dx\)

ist eine unverständliche Schreibweise: denn der "Integrand" ist ein Vektor,

das Differential hingegen ein Skalar.

Wie lautet die Originalaufgabe ?

Vermutlich meinst du so etwas wie \(d{x \choose y}={{dx} \choose {dy}}\)

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Ich habe gerade nochmal nachgeschaut, aber komischerweise steht es genauso da wie oben in meiner Frage notiert.

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OK. Dann ist das eine Nachlässigkeit des Aufgabenstellers!

Answer 1

Wie hat man das  \( \left(\begin{array}{rr} t\\ t^{2} \end{array} \right) \)  berechnet:

Kurve γ mit \( y= x^{2} \) von P1(1, 1) nach P2(2, 4).

besteht aus lauter Punkten der Art   \( \left(\begin{array}{rr} t\\ t^{2} \end{array} \right) \)  .

Denn für x=t ist das y = x^2 = t^2.

Außerdem frag ich mich wie man auf das Intervall bzw. die Grenzen gekommen ist:\(1  \leq t \leq 2\)

Die gegebenen Punkte P1(1, 1) und P2(2, 4) entstehen für t=1 bzw. für t=2.

Also läuft das t von 1 bis 2.

Comments

Meine Frage hat sich somit geklärt, danke.