Hi,
folgende Überlegung.
Was erhalte ich nach einem Jahr mit 5% Zinsen:
1. Jahr: 4000 + 4000*0,05 = 4200
Wie sieht das im zweiten Jahr aus? Hier werden ja 4200€ verzinst!
4200 + 4200*0,05 = 4410
und so geht das direkt weiter. Wie aber kann man daraus eine (Zinseszins-)Formel aufstellen?
Beachte, dass 4200 auch geschrieben werden kann als (4000 + 4000*0,05)
Außerdem kann 4200 bzw. 4000 ausgeklammert werden:
1. Jahr: 4000+4000*0,05 = 4000(1+0,05)
2. Jahr: 4200 + 4200*0,05 = 4200*(1+0,05)
Einsetzen von 4200 = (4000+4000*0,05) = 4000(1+0,05)
2. Jahr: 4200(1+0,05) = (4000(1+0,05))(1+0,05) = 4000*(1+0,05)2
So haben wir gerade die Zinseszinsformel hergeleutet. Der Vorfaktor von 4000*(1+0,05)^n = K ist das Grundkapital. 0,05 sind die Zinsen und die Potenz ist die Anzahl der vergangenen Jahre. K das Geld was letztlich da ist.
Wir wollen nun eine Verdopplung, also K = 8000
8000 = 4000(1+0,05)^n
2 = 1,05^n |Logarithmus (kennst Du den schon?)
ln(2) = n*ln(1,05)
n = 14,21
Nach 15 Jahren hat sich also das Geld verdoppelt.
Grüße