In welcher Zeit verdoppelt sich ein Guthaben von 4000€ bei einer Verzinsung von 5%?

Question

Heyyy.

jetzt beschäftige ich mich Exponentiaaaaaalfunktionen <3

Ehm hier die Aufgabe:

In welcher Zeit verdoppelt sich ein Guthaben von 4000€ bei einer Verzinsung von 5%

PS: Ich mache Exponentialaufgaben/Funktionen/Gleichungen was auch immer man hier oder bei diesem Thema machen muss, noch nie gemacht habe. Ich mache das hier zum ersten Mal! Also habe ich auch hier keinerlei Grundwissen .....

Ich hoffe ihr könnt mir helfen ....

Answer 1

Hi Emre,

 

wenn man 4000€ hat, hat man bei einer Verzinsung von 5% pro Jahr nach einem Jahr 4000€ * 1,05 = 4200€.

Nach zwei Jahren hat man dann 4200€ * 1,05 = 4410€ etc.

Man rechnet also:

Kapital * Zinssatz^{Anzahl der Jahre}

 

Deine Frage:

4000€ * 1,05^x = 8000€ | : 4000€

1,05^x = 2

Und nun berechnet man beiderseits den Logarithmus zur Basis 1,05:

x = ln(2) / ln(1,05)

Die Basis kommt immer unter den Bruchstrich

x ≈ 14,207

 

Probe:

4000€ * 1,05^14,207 ≈ 8000,12€

 

Also:

Es dauert etwas mehr als 14,2 Jahre, bis sich ein Kapital von 4000€ bei einem Zinssatz von 5% verdoppelt hat.

 

Lieben Gruß

Comments

Hallo Andreas :)

Ich muss sagen: Toll Erklärt!!!

DANKE DAFÜR!

Aber den Logarithmus verstehe ich nicht ....

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Soweit fein :-)

 

Hast Du es bis hierhin verstanden:

4000€ * 1,05^x = 8000€ | : 4000€

1,05^x = 2

?

 

Nun ist die Frage:

Wie oft muss man 1,05 mit sich selbst multiplizieren, um auf 2 zu kommen?

Nehmen wir ein einfaches Beispiel:

10^x = 1000

Hier ist x = 3, denn

10³ = 1000

Du hast auf der linken Seite Basis^x (in diesem Falle Basis = 10) und auf der rechten Seite eine Zahl - nackt :-D

Nun berechnest Du den Logarithmus wie folgt:

Auf der linken Seite bleibt nur das x stehen (erfreulich), auf der rechten Seite rechnest Du

ln (Zahl) / ln (Basis),

in diesem einfachen Beispiel also

ln(1000)/ln(10) = 3 = x

 

In Deiner Aufgabe hatten wir aber nicht 10 als Basis, sondern 1,05.

Deshalb:

1,05^x = 2 | Logarithmus zur Basis 1,05, links bleibt nur das x stehen

x = ln("nackte Zahl")/ln(Basis) = ln(2)/ln(1,05) ≈ 14,207

 

Egal welche Basis, egal welche "nackte Zahl", das Vorgehen ist immer das Gleiche :-)

 

Mit Sicherheit gibt es auch einige Videos zu diesem Thema auf matheretter.de oder entsprechende Informationen im Netz der unbegrenzten Möglichkeiten :-D

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Ja, bis hier hin:

4000€ * 1,05^x = 8000€ | : 4000€

1,05^x = 2

habe ich es verstanden :)

 

Hmmm es fällt mir mit dem Logarithmus und Ln immer noch etwas schwer, aber ich denke dass wird noch :D

Und das kann man einfach mit dem TR ausrechnen, oder? ^^

Also was muss ich in meinem TR eintippen?

log oder ln? ^^

 

Aber die Erklärung gefällt mir :D Und vorallem mit der nackten Zahl..... :D

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"Also was muss ich in meinem TR eintippen?

log oder ln?"

Das Tolle ist: Du kannst beides eintippen!! - Probier es mal aus :-)


"Aber die Erklärung gefällt mir :D Und vorallem mit der nackten Zahl..... :D"

Das dachte ich mir :-D

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Oh super :D

Wenn ich jetzt in meinem TR: log(1,05)=0,02118929907 .....ehm hab ich hier was falsch gemacht? ^^

:D

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PS: Mein TR ist auf Rad eingestelt...vielleicht kommt da deshalb sowas raus? ^^

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Alles kein Problem:

Du sollst ja nicht log(1,05) berechnen, sondern

log(2)/log(1,05)

und da kommt dann

14,2066990829 raus, wetten?


Das hat nichts mit der Einstellung auf Rad, Gra oder Deg zu tun, da geht es nur um Winkel :-)

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jaaaaaaaaaaaaaaa da kommt 14,20669908 raus :)

haaaaaaaabbbssss verstanden :)

DAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAANJE

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Toll, nicht wahr??

Danke für einen weiteren Stern auf dem "Walk of Fame" :-D

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Ja, und wie :D

Und seehr gerne :D Hast toll erklärt!

Der Stern hat sich auch gelohnt :D

Ich muss langsam schlafen :D Gute Nacht :)

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Freut mich - wie immer - wenn ich helfen konnte :-)

Auch Dir eine gute Nacht Emre!!

Answer 2

Hi,

folgende Überlegung.

Was erhalte ich nach einem Jahr mit 5% Zinsen:

1. Jahr: 4000 + 4000*0,05 = 4200

Wie sieht das im zweiten Jahr aus? Hier werden ja 4200€ verzinst!

4200 + 4200*0,05 = 4410

und so geht das direkt weiter. Wie aber kann man daraus eine (Zinseszins-)Formel aufstellen?

 

Beachte, dass 4200 auch geschrieben werden kann als (4000 + 4000*0,05)

Außerdem kann 4200 bzw. 4000 ausgeklammert werden:

1. Jahr: 4000+4000*0,05 = 4000(1+0,05)

2. Jahr: 4200 + 4200*0,05 = 4200*(1+0,05)

 

Einsetzen von 4200 = (4000+4000*0,05) = 4000(1+0,05)

2. Jahr: 4200(1+0,05) = (4000(1+0,05))(1+0,05) = 4000*(1+0,05)²

 

So haben wir gerade die Zinseszinsformel hergeleutet. Der Vorfaktor von 4000*(1+0,05)^n = K ist das Grundkapital. 0,05 sind die Zinsen und die Potenz ist die Anzahl der vergangenen Jahre. K das Geld was letztlich da ist.

 

Wir wollen nun eine Verdopplung, also K = 8000

8000 = 4000(1+0,05)^n

2 = 1,05^n         |Logarithmus (kennst Du den schon?)

ln(2) = n*ln(1,05)

n = 14,21

 

Nach 15 Jahren hat sich also das Geld verdoppelt.

 

Grüße

Comments

Hallo Unknown :)

Oohhhh nöööööö hat das auch was mit Loooog zutun? :(

Nein, Log ist nicht bekannt..... aber ich  versuche das mir mal jetzt beizubringen und in meiner Nachhilfe und alles..... aber das Prinzip scheint ja nicht soooooooooooooooooo schwer zu sein? Findest du nicht?

Und JotEs hat da 17,7 Jahre...? Also hast du oder Er recht? ^^ hä

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In diesem Fall habe ich recht. Er scheint es schon korrigiert zu haben ;).


Und nein, Logarithmus ist nicht allzu schwer...man sollte es aber dennoch sauber erarbeiten ;).

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Sorry, ich hatte zunächst mit einer Verzinsung von 4 % gerechnet. Bei 4 % dauert es 17,7 Jahre bis zur Verdopplung.
Ich habe es inzwischen auf 5 % korrigiert.

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@Unknown: Ok, danke für deine Hilfe!! Ich kann den Logarithmus Morgen Fehlerfrei!! Ich lerne heute die Nacht durch ^^

@JotEs: Ah ja ok :) Ich versuche es mal jetzt Nachzuvollziehen :))

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Ob da eine Nacht reicht ;).

Schon das Einprägen und erlernen der Logarithmusregeln ;).

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Hmmmmmmmmmm ich muss es ja nicht von Heute auf Morgen auswendig wissen :D

Hab ja Zeit bis September oder sogar noch Länger :D:D

Hauptsache ich weiß, wie man sie anwendet :)) oder?

Bisdahin weiß ich die schon ausm Schlaf. Kannst mich gerne um 02:00 Uhr anrufen und ich sage dir die Logarithmusregeln am Telefon :P ^^

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Ich schua mir gerade die Regeln an und ich hab nur Spaß gemacht, was ich im obigen Kommentar gesagt hatte.... das war nur Spaß :)

Ich lerne jeden Tag ein bisschen und dann nach Paar Monaten hab ich die druch...glaube ich :)

Answer 3

Die Zeit, in der sich ein Guthaben verdoppelt, hängt nicht von der Höhe des Guthabens ab. Die Verdopplungszeit ist für jedes Guthaben immer gleich.

Es muss nämlich gelten (Zinseszinsformel):

2 * K ( 0 ) = K ( 0 ) * ( 1 + p ) ^t

Division durch K ( 0 ) (hier fällt das Anfangskapital K ( 0 ) aus der Formel heraus!)

<=> 2 = ( 1 + p ) ^t

<=> log ( 2 ) = t * log ( 1 + p )

<=> t =  log ( 2 ) / log ( 1 + p  )

 

Vorliegend ist p = 5 % = 0,05, also:

t = log ( 2 ) / log ( 1,05 ) ≈ 14,2

Bei einer Verzinsung von 5 % p.a. dauert es also gut 14 Jahre, bis sich ein Guthaben verdoppelt.

Comments

Hallo JotEs

Also Log ist mir leider nicht bekannt. Ich habe damit eben gerade Angefangen ...deshalb kann ich deine Rechnung nur bissschen nachvollziehen....:(  aber trzddd vielen  !!

Answer 4

ES gibt da sowas wie eine  Eselsbrücke um festzustellen ob man richtig gerechnet hat .

Das Kapital verdoppelt sich wenn  p *n≈ 70  . gesucht ist n

5*n ≈ 70   ,    n≈ 14

Also nach ca,. 14 Jahren hat sich das Kapital verdoppelt.