Potenzen mit positivem Exponenten zu negativen umwandeln.

Question

Aufgabe: Schreibe möglichst einfach mit Potenzen mit negativen Exponenten.

(xy)/(uv)

Problem/Ansatz: Ich weiß, dass das Ergebnis (uv/xy)^-1 ist (Aufgrund des Beweises zu (a/b)^(-r) = (b/a)^r). Den Beweis verstehe ich so auch, aber in die andere Richtung (positiver Exponent zu negativen) nicht. Daher wollte ich fragen, wie ich mir (xy)/(uv) = (uv/xy)^-1 herleiten kann. Am besten Schritt für Schritt.

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Hallo,

vielleicht ist es umgekehrt deutlicher.

$$a^{-1}=\frac1a$$

$$\frac{1}{b^{-1}} = \frac{1}{1/b}=b$$

Also

$$\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} =  \frac{a^{-1}}{b^{-1}} =a^{-1}\cdot\frac{1}{b^{-1}}= \frac{1}{a}\cdot b=\frac{b}{a}$$

Comments

Ich denke jetzt habe ich es endlich verstanden! Danke!

Zur Kontrolle:

((xy)/(uv)) = (xy) * (1/(uv)) = (1/(xy)^-1) * (uv)^-1 = ((uv)^-1)/((xy)^-1) = ((uv)/(xy))^-1

Oder?

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Genauso ist es richtig.

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Dankeschön!!!

Answer 2

Einfach 1/((xy)/(uv)) also den Kehrwert bilden.

Comments

Genau man teilt durch 1 und bildet den Kehrwert. Ich weiß aber nur nicht warum man durch 1 teilt oder auch warum man durch 1 teilen darf. Vielleicht ist das so offensichtlich aber ich raffe es einfach nicht.

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a^-n =1/aⁿ Das ist eine Folgerung aus den Potenzgesetzen.

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Also eigentlich:

(xy)/(uv) = (xy)^1 : (uv)^1 = (1/(xy)^1) : (1/(uv)^1) = Kehrwert = (uv)/(xy)

Bis hierhin ist alles klar aber ab dem kehrwert müsste der exponent ja negativ sein wie kommt man zu diesem negativen exponenten ?

Ps: bin kein Fan von Doppelbrüchen :)

Answer 3

\( \frac{xy}{uv}=\frac{(xy)^1}{(uv)^1}=\frac{(uv)^{-1}}{(xy)^{-1}} \)

Comments

(xy)/(uv) = (xy)^1 : (uv)^1 = (1/(xy)^1) : (1/(uv)^1) = Kehrwert = (uv)/(xy)

Bis hierhin ist alles klar aber spätestens ab dem kehrwert müsste der exponent ja negativ sein wie kommt man zu diesem negativen exponenten ?

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\( (x*y)^{1}=\frac{1}{(x*y)^{-1}} \)

\( \frac{1}{(u*v)^{1}}=(u*v)^{-1} \)

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Dankeschön!!!