Konvergiert die folgende Reihe? Wert einer Reihe bestimmen

Question

Konvergiert die folgende Reihe? Geben Sie im Falle der Konvergenz den Wert der Reihe an.

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{4 k^{2}-1} \)

Hallo zusammen, meine Lösung und die aus dem Buch unterscheiden sich, finde aber meinen Fehler nicht in den Zwischenschritten. Habe hier die partailbruchzerlegung angewendet. Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen.

Vielen Dank:)

Answer 1

\(\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})\), folglich

\(\sum_{k=1}^n\frac{1}{4k^2-1}=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})\rightarrow \frac{1}{2}\)

für \(n \to \infty\).