Hallo,
Willkommen in der Mathelounge!
b) Es ist die Funktion g(x)=sin(x)+cos(x) gegeben. Ich muss die Periode und Wertemenge von g angeben. Ich glaube diese ist 2π aber bei der Wertemenge weiß ich nichts.
Wenn jede Funktion in einer Summe die Periode \(2\pi\) hat, so hat die Summe selbst auch wieder die Periode \(2\pi\). Und das ist hier der Fall.
Um die Wertemenge zu bestimmen, zeichne Dir zunächst den Graphen der Funktion:
~plot~ sin(x)+cos(x) ~plot~
sieht aus, wei eine 'normale' Schwingung mit Hoch- und Tiefstellen. Und die Wertemenge sind die Funktionswerte, die sich zwischen diesen Minima und Maxima befinden. Also eine Möglichkeit wäre, diese Stelle zu bestimmen, indem man \(g(x)\) ableitet.$$g'(x) = \cos(x) - \sin(x) \to 0 \implies \sin(x_e) = \cos(x_e)$$also die Extremstellen befinden sich dort, wo die Werte von Sinus und Cosinus gleich sind.
Es ist immer gut, sich im Einheitskreis auszukennen, dann weiß man, dass dies bei $$x_e=\frac\pi4 + k\pi, \quad k \in \mathbb Z \quad\quad \left(\frac\pi4 = 45°\right)$$der Fall ist. Und dort ist \(g(x_e) = \pm \sqrt 2\). Also ist $$\mathbb W = \left\{x :\space -\sqrt 2 \le x \le \sqrt 2 \right\}$$Alternativ kannst Du versuchen, folgende Gleichung nach \(a\) und \(p\) aufzulösen:$$g(x)= \sin(x) + \cos(x) = a\cos\left(x - p\right)$$
c) Dann noch die Nullstellen angeben im Intervall(-π;2π)
Setze \(g(x)=0\). Also muss dort \(\sin(x_0)=-\cos(x_0)\) gelten. Versuche es mal selber!
d) Welche Symmetrien zeigt der Graph der Funktion g
\(g(x)\) ist punktsymmetrisch zu jeder Nullstelle und achsensymmetrisch zur Orthogonalen an jeder Extremstelle.
Gruß Werner
