Umformungen von Matrizen in Summenschreibweise

Question

Aufgabe:

Umformungen von Matrizen in Summenschreibweise

Problem/Ansatz:

Es ist eher eine Verständnisfrage.

Warum gelten diese Umformungen:

Spur(A^T* A) = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{(A^T * A)ii} \) = \( \sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{(A^T)ij * (A)ji}} \) =

\( \sum\limits_{i=1}^{n}{\sum\limits_{j=1}^{n}{(a(ji)^2}} \) .

Die erste Umformung verstehe ich noch, da die Diagonalelemente durch das Summenzeichen aufgerufen werden, aber ab der zweiten wird es schwierig.

Kann mir das jemand erklären

Answer 1

Es handelt sich um die Definition des Matrizenprodukts. Für n-n-Matrizen P,Q gilt: Die Komponente mit dem Index (i,k) des Matrizenprodukts \(P \cdot Q\) ist

$$(P \cdot Q)_{i,k}= \sum_{j=1}^n P_{i,j}Q_{j,k}$$

Setze darin \(P=A^T,Q=A, k=i\)

Answer 2

Solche Konstrukte sind immer schwer zu durchschauen,

Anschauliche Darstellung generieren oder aufschreiben z.B: Geogebra CAS

A:{{a11,a12,a13},{a21,a22,a23},{a31,a32,a33}}

n:Dimension(A) (1,0)

>n=3

ATA:Transpose(A) A

\(\scriptsize \left(\begin{array}{rrr}a11^{2} + a21^{2} + a31^{2}&a11 \; a12 + a21 \; a22 + a31 \; a32&a11 \; a13 + a21 \; a23 + a31 \; a33\\a11 \; a12 + a21 \; a22 + a31 \; a32&a12^{2} + a22^{2} + a32^{2}&a12 \; a13 + a22 \; a23 + a32 \; a33\\a11 \; a13 + a21 \; a23 + a31 \; a33&a12 \; a13 + a22 \; a23 + a32 \; a33&a13^{2} + a23^{2} + a33^{2}\\\end{array}\right)\)

sumATAii:Sum(Element(Transpose(A) A,i,i),i,1,n)

\(sumATAii \, :=  \, \sum \limits_{i=1}^{n}Element \left(ATA, i, i \right)\)

Sum(Sum(Element(Transpose(A),i,j) Element(A, j,i),i,1,n),j,1,n)

\(sumsumATijAji \, :=  \, \sum \limits_{j=1}^{n}\sum \limits_{i=1}^{n}Element \left(Transpose \left(A \right), i, j \right) \; Element \left(A, j, i \right)\)

\(sATAii == sumsumATijAji \\=  \, a11^{2} + a12^{2} + a13^{2} + a21^{2} + a22^{2} + a23^{2} + a31^{2} + a32^{2} + a33^{2}\)

In der unteren SUmme fehlt ) soll wohl sein

\(\sum\limits_{j=1}^{n}\sum\limits_{i=1}^{n}Element \left(A, i, j \right)^{2}\)