Entscheiden ob die Teilmenge ein Unterraum ist

Question

Aufgabe: Entscheiden Sie welche der folgenden Teilmenge Unterräume von R₃[x] sind.

(i) M₁ = {ax³ + bx² + cx + d ∈ R₃[x] : ad − bc = 0}

(ii) M₂ = {ax³ + bx² + cx + d ∈ R3[x] : 2(a + b) + c = 0, 5d = 2c}

Problem/Ansatz: Mir liegt eine Lösung vor, allerdings kann ich diese nicht nachvollziehen. Die Lösung bei i) =

Dies ist kein Unterraum: Da 0 · 0− 1 · 0 = 0 und 0 · 0− 0 · 1 = 0 sind sowohl x² als auch 1 Elemente von M₁. Da jedoch 0 · 0 − 1 · 1 = −1 ungleich 0, ist x² + 1 kein Element von M1.

Die Lösung bei ii) =

Dies ist ein Unterraum:
0 ∈ W₂: Da 2(0 + 0) + 0 = 0 und 5 · 0 = 2 · 0, ist das Nullpolynom in W₂ enthalten.

Kann mir jemand die Lösung erläutern? Ich verstehe nicht wie hier die nullen und einsen gewählt werden. Zum Beispiel: Wieso ist bei ii a,b,c,d = 0 während bei i wild rumgewechselt wird. Wenn ich bei der i) alle Variablen auf 0 setzen würde wie bei der ii), würde ich ja auch auf keinen Fehler kommen es wäre ebenfalls ein Unterraum.

Vielen Dank!

Comments

Ihr werde so etwas wie ein "Unterraum-Kriterium" besprochen haben. Vielleicht kannst Du das mal hierhin schreiben, damit man sich darauf beziehen kann.

Übrigens ist die von Dir angegebene "Lösung" bei ii unvollständig.

Answer 1

Hallo

nachweisen muss man immer, dass der Nullvektor dazu gehört, das ist bei i und ii der Fall.  in ii wurde soweit du schreibst nichts weiter gezeigt, dann reicht das nicht, man muss nachweisen das mit v1 und v2 auch v1+v2 im UR liegt.  In i) wurde das an einem Gegenbeispiel als nicht erfüllt gezeigt, in ii wurde es nicht gezeigt, kann man aber.

Gruß lul

Comments

Ihr habt Recht, bei der ii fehlt ein Teil. Das mit dem Nullvektor habe ich verstanden, ok. Aber wieso werden bei der i) im weiteren Verlauf b und c auf 1 gesetzt sodass es ungleich 0 ist? Wieso b und c und wieso nicht bei der ii) auch?

Danke euch.

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Hallo

ich hatte schon gesagt, man sucht ein Gegenbeispiel.

man kann leicht sehen dass man x^2+1 nicht herstellen kann, denn dann müsste ja a=0 b=1 c=0 d=1 sein , was nicht geht. dann überlegt man ob man x^2 allein und 1 allein erzeugen kann, also a=c=d=0 und ja, das geht und a=b=c= 0 geht auch.

ist man etwas ungeübt ist das vielleicht nicht so schnell zu sehen, Das mit all den Nullen zu machen ist am einfachsten,  wahrscheinlich findet man auch 2 andere Vektoren, deren Summe nicht  dazugehört, aber umständlicher.

da in ii die Beziehung zwischen den Komponenten linear ist, denkt man gleich : wahrscheinlich ein UR muss das aber - da man ja kein Gegenbeispiel finden kann -allgemeiner zeigen. Natürlich könnte man auch mit vielen Nullen auf die Suche nach einem Gegenbeispiel gehen, verzweifelt dann weil man keins findet und beschließ es ist ein UR und beweist das .

Gruß lul,