Bestimmen Sie alle x∈ℝ, für folgende Potenzreihe

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle x∈ℝ, für die Potenzreihe:

\( \sum\limits_{n=1}^{\infty}{\frac{ (-1)^{n}  8^{n}}{n+6} (x-7)^{n}} \)

Problem/Ansatz:

Ich weiß das a_n= \({\frac{ (-1)^{n}  8^{n}}{n+6} } \) und a₁=\({\frac{ (-1)^{1}  8^{1}}{1+6} } \) = -\( \frac{8}{7} \)

Wenn man die Summe jetzt weiter führt wird es zwar immer kleiner aber doch nie 0 oder? Also müsste man doch das Quotientenkriterium anwenden können oder?

Answer 1

Quotientenkriterium anwenden

Gute Idee, damit bestimmst du den Konvergenzradius

(gibt hier r=1/8) und weißt dann :

Im Inneren von ]7-r ; 7+r [ konvergiert es.

Die Ränder musst du extra betrachten.

Comments

Kannst du die Schritte nochmal mit einem kurzen Rechenweg angeben ich komme nur auf riesige Limes Gebilde.

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\(  | \frac{a_n}{a_{n+1}}| =  \frac{\frac{8^n}{n+6}}{\frac{8^{n+1}}{n+7}}  \)

\( =  \frac{8^n(n+7)}{8^{n+1}(n+6)}  = \frac{n+7}{8(n+6)}  = \frac{n+7}{8n+48} \)

Also GW = 1/8.

Answer 2

Zum Vergleichen:

ich habe Divergenz im linken Intervallrandpunkt (harmonische Reihe)

und Konvergenz im rechten Intervallrandpunkt (Leibniz-Kriterium).