Pythagoreische Zahlentripel für ein bestimmtes Seitenverhältnis der Katheten bestimmen

Question

Aufgabe:

Pythagoreische Zahlentripel für ein bestimmtes Seitenverhältnis der Katheten bestimmen

Problem/Ansatz:

Ich habe ein rechtwinkliges Dreieck und kenne das Seitenverhältnis der Katheten, also mir ist der Tangens bekannt.

Ausserdem soll das Seitenverhältnis der Katheten teilerfremd sein.

Kann man mit diesen Angaben mögliche Pythagoreische Zahlentripel für die konkrete Situation bestimmen?

Ich habe schon versucht, die Bestimmungsformeln a = 2mn bzw. b = m^2 - n^2   ins Verhältnis zu setzen,

allerdings komme ich damit nicht sehr weit.

Answer 1

Hallo,

Ich habe schon versucht, die Bestimmungsformeln a = 2mn bzw. b = m2 - n2  ins Verhältnis zu setzen

Guter Anfang; substituiere hier \(n/m = \tau\). Dann wird daraus$$\begin{aligned}\tan(\alpha) &= \frac ab = \frac{2mn}{m^2-n^2} \quad \tau = \frac nm\\ &= \frac{2\tau}{1-\tau^2}\end{aligned}$$Nun nach \(\tau\) auflösen$$\begin{aligned} \tan(\alpha) &= \frac{2\tau}{1-\tau^2} \\ (1-\tau^2)\tan(\alpha) &= 2\tau \\ \tau^2 + \frac{2}{\tan(\alpha)}\tau - 1&= 0 \\ \tau_{1,2} &= -\frac{1}{\tan(\alpha)} \pm \sqrt{ \frac{1}{\tan^2(\alpha)}+1} \\ \tau &= -\frac{1}{\tan(\alpha)} + \frac{1}{\sin(\alpha)} \end{aligned}$$der negative Wert entfällt hier. Jetzt wandele das Ergebnis von \(\tau\) in eine rationale Zahl um. Das ist mit einer endlichen Genauigkeit immer möglich!

Beispiel: \(\alpha=43°\) daraus folgt dann \(\tan(\alpha) \approx 0,9325\) gibt nach obiger Rechnung \(\tau \approx 0,39391\) und das kann man mit \(\tau=12/33\) ungefähr annnähern.

Daraus folgt dann das Tripel \((a,\,b,\,c) = (858,\, 920,\, 1258)\). Die Abweichungen beim Tangens liegt dabei unter \(0,01\%\).

Wie groß ist denn bei Dir das \(\tan(\alpha)\)?

Gruß Werner

Comments

Hier hatte ich vor Jahren mal beschrieben, wie man eine Fließkommazahl in einen Bruch umwandelt, dessen Zahlenwerte in Zähler und Nenner klein sind, der aber sehr dicht an der Ausgangszahl liegt.

---

Danke für die ausführliche Antwort.

Eine näherungsweise Berechnung hilft mir hier leider nicht weiter.

Ich hatte in diesem Zusammenhang schon einmal eine ähnliche Frage gestellt:

"Lösungen für a = x/y - y/x" am 31.08.2022

Der Hintergrund ist zu zeigen, dass ein Wert für den Tangens für jedes mögliche Pythagoreische Tripel nur einmal vorkommen kann.

Deshalb wollte ich sozusagen "rückwärts" rechnen, also aus einem beliebigen Winkel (genauer: Winkel zwischen 0 und 45 Grad) das Zahlentripel ermitteln.

Ein Primitives Zahlentripel.

---

Der Hintergrund ist zu zeigen, dass ein Wert für den Tangens für jedes mögliche Pythagoreische Tripel nur einmal vorkommen kann.

wie darf ich das verstehen? Wenn Du zeigen möchtest, dass es keine zwei rechtwinkligen Dreiecke gibt, deren Seitenläängen nicht identischen primitiven Pythagoreische Tripel sind, die ähnlich sind, das ist doch eh klar!

Schon aus der Defintion der primitiven Pythagoreische Tripel heraus. Wenn \(m\) und \(n\) teilerfremd sind, dann sind es auch \(2mn\) und \(m^2-n^2\).

Ich hatte in diesem Zusammenhang schon einmal eine ähnliche Frage gestellt:
"Lösungen für a = x/y - y/x" am 31.08.2022

das hat doch ermanus auch gezeigt. Wenn für einen Winkel - bzw. dessen Tangens - so ein Tripel existiert, dann ist es auch eindeutig.

Deshalb wollte ich sozusagen "rückwärts" rechnen, also aus einem beliebigen Winkel (genauer: Winkel zwischen 0 und 45 Grad) das Zahlentripel ermitteln

Sobald \(m=\tan(\alpha) \not \in \mathbb Q\) kann das Verhältnis der Katheten nicht mehr ganzzahlig und damit auch kein Pythagoreisches Tripel sein. D.h. für beliebige(!) Winkel ist das nicht lösbar!

---

Tut mir leid, die Fragestellung war wohl etwas unklar formuliert.

Also, wenn ich das Verhältnis von zwei ganzzahligen Katheten a / b betrachte, dann müssen diese nicht zwangsläufig zu einem Pythagoreischen Tripel gehören.

Aber wenn das zutrifft, dann müssten sich doch auch die Zahlen m und n berechnen lassen, wobei laut der Bildungsvorschriften m > n , sowie m und n verschiedene Parität haben müssen ( also nicht gleichzeitig gerade oder ungerade Zahlen).

Ansonsten sind die Zahlen m oder n oder beide nicht ganzzahlig und es existiert für das Verhältnis a / b auch kein Pythagoreischen Tripel.

Meine Frage ist also grob formuliert: wie komme ich von dem Verhältnis a / b zu den Zahlen m und n aus der Bildungsvorschrift für Pythagoreische Zahlentripel?

---

wobei laut der Bildungsvorschriften m > n , sowie m und n verschiedene Parität haben müssen

genau! - das hatte ich in meinem letzten Kommentar vergessen zu erwähnen.

Meine Frage ist also grob formuliert: wie komme ich von dem Verhältnis a / b zu den Zahlen m und n aus der Bildungsvorschrift für Pythagoreische Zahlentripel?

Ok ... das ist schon mal spezieller. D.h. Du schränkst das Kathetenverhältnis ein auf $$\tan(\alpha) = m \in \mathbb Q^+ \implies m = \frac ab, \quad a,\,b \in \mathbb N$$Hier reicht doch die Prüfung$$c = \sqrt{a^2+b^2}, \quad c \stackrel{?}{\in} \mathbb N$$das kommt auch heraus, wenn Du das \(\tau\) aus meiner Antwort berechnest$$\begin{aligned} \tau &= \sqrt{\frac1{\tan^2(\alpha)} + 1} - \frac1{\tan(\alpha)} \\ &= \sqrt{\frac{b^2}{a^2}+1} - \frac ba\\&= \frac1a\left(\sqrt{b^2+a^2} - b\right) \\&= \frac{c-b}{a}\end{aligned}$$Also gehören \(a\) und \(b\) genau dann zu einem phytagoreischen Tripel, wenn \(\tau \in \mathbb Q\) ist, und das ist genau dann der Fall, wenn \(c \in \mathbb Q\) ist. Und da \(a,\, b \in \mathbb N\) liegen, muss \(c\) in diesem Fall \(c \in \mathbb N\) sein.

Also reicht doch die schlichte Prüfung \(\sqrt{a^2+b^2} \stackrel{?}{\in} \mathbb N\) - oder nicht? Und \(m\) und \(n\) berechnet sich dann aus dem (gekürzten!) Bruch \((c-b)/a\).

Gruß Werner

Answer 2

Der Tangens ist also

T = b / a = (m^2 - n^2) / (2·m·n) --> m/n = T + √(T^2 + 1)

Du könntest also T ± √(T^2 + 1) durch einen Bruch nähern, wenn es nicht bereits eine rationale Zahl ist und dann m und n als Zähler und Nenner dieser rationalen Zahl nehmen. Aber T + √(T^2 + 1) ist sicher nicht für alle T rational.

Eine Dezimalzahl wandelt man recht einfach über einen Kettenbruch zu einem Bruch um.