Elemente der Zahlentheorie:

Question

Aufgabe:

Elemente der Zahlentheorie

Problem/Ansatz:

Rechenweg erstellen/herleiten

Hallo allerseits, ich hätte eine Frage zur folgenden Aufgabe, wo ich nicht weiß, wie ich den Rechenweg aufstellen und die Aufgabe lösen soll:

Gibt es ein a ^ (-1) zu a in der Menge Z10 ?

(Mir ist bewusst, dass a = 0 kein multiplikatives Inverses haben kann, aber ja...)

a = 1 => a ^ (-1) = ?

a = 2 => a ^ (-1) = ?

a = 7 => a ^ (-1) = ?

Ich freue mich auf eure Vorschläge und würde mich über eine rasche Antwort sehr freuen! LG und schöne Woche noch! :D

Comments

Dass du zu a=1 kein inverses findest macht mich jetzt schon stutzig. Weißt du denn wie das Inverse definiert ist?

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Das Folgende weiß ich:

1. e * d = 1

(Wobei e & d € (Element von) Zm sind)

d entspricht auch anders formuliert dem Kehrwert

2. Für e ohne 0 in Zm gibt es genau bzw. ein Inverses dann, wenn e und m zueinander teilerfremd sind (ain anderen Worten ausgedrückt: Wenn ihr größter Gemeinsamer Teiler (=ggt) gleich 1 ( = 1) ist.

Mein Problem ist dieses, dass ich nicht ganz verstehe, wie ich auf den Rechenweg kommen bzw. ihn erstellen soll (Ich weiß, dumme Frage, aber lieber frag ich als in Ahnungslosigkeit zu leben...)

Answer 1

Gibt es ein a ^ (-1) zu a in der Menge Z10 ?

Die Menge Z10 hat 10 Elemente. Probiere alle durch.

Comments

Vielek Dank für die Erklärung!

Könntest du mir vielleicht ein Beispiel zeigen, wie man sowas macht, damit ich den Rechenweg dazu sehen kann?

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Nimm mal \(a=7\). Du suchst eine nat. Zahl \(b\), so dass

\(a\cdot b\) in der Einerstelle eine 1 hat. Zum Glück kennst

das 1-mal-7, oder ?

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Achsooo, bruh, hahahaha

Danke, ich stand hart auf dem Schlauch

Könnten meine Berechnungen dann stimmen?

a = 1 => 1

(da 1/1 = 1 ist)

a = 2 => gibt es nicht

(Da 2 und 10 nicht teilerfremd sind (ggt ist nicht = 1, sondern = 2)

a = 7 => 1 + 10 × 2 / 7 = 21/7 = 3

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Das ist OK.

Nur schreibtechnisch ist a = 7 => 1 + 10 × 2 / 7 = 21/7 = 3 falsch.

Du meinst \((1+10\times 2)/7 =21/7=3\).

Zur Kontrolle:

0,2,4,5,6,8 nicht invertierbar.

\(1^{-1}=1,\; 3^{-1}=7,\; 7^{-1}=3,\; 9^{-1}=9\).