Skizziere die Menge M und berechne den Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Mb) Skizzieren Sie die Menge
\( \mathcal{M}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \frac{1}{2} \sin (\pi x) \leq y, x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} \)
und geben Sie den Flächeninhalt an.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass es zum einen ein Kreis mit dem Radius 1 darstellen soll und eine sinus Funktion aber was genau stellt jetzt die Menge M dar und wie soll man den Flächeninhalt berechnen, mit einem Integral?

Danke im voraus

Comments

wie soll man den Flächeninhalt berechnen, mit einem Integral?

gute Idee !

Answer 1

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

hast Du Dir diese Menge \(M\) schon mal aufgezeichnet? Also den Bereich aller Punkte \((x,y)\), die obige Bedingung erfüllen, in einem Koordinatensystem farblich markiert?

https://www.desmos.com/calculator/sywdqpu1tm

Ich weiß, dass es zum einen ein Kreis mit dem Radius 1 darstellen soll und eine sinus Funktion aber was genau stellt jetzt die Menge M dar?

Na ja alle Punkte, die sich innerhalb des Kreises befinden UND oberhalb (und auf) der angegebenen Funktion.

wie soll man den Flächeninhalt berechnen, mit einem Integral?

Unter Umständen könnte man darüber nachdenken, wie groß denn das Flächenstück \(\{0 \le y \le \frac12 \sin(\pi x) \land 0 \le x \le 1\}\) ist, wenn man das Pendant auf der Seite der negativen X-Achse betrachtet!

Gruß Werner