Hallo,
wenn sich Sekunden-, Minuten- und Stundenzeiger mit den Winkelgeschwindigkeiten \(\omega_s\), \(\omega_m\) und \(\omega_h\) bewegen, und der Winkel zwischen Sekunden- und Minuten- und der zwischen Minuten- und Stundenzeiger jeweils \(120°\) betragen soll, so gilt$$\left(\omega_s - \omega_m\right) t = \pm 120° + 360°k_1\quad k_1 \in \mathbb Z \\ \left(\omega_m - \omega_h\right) t = \pm 120° + 360°k_2\quad k_2 \in \mathbb Z$$Die Geschwindigkeiten sind$$\omega_s = 60 \cdot 360°\,\text{h}^{-1}, \quad \omega_m=360°\, \text h^{-1}, \quad \omega_h = 30°\,\text h^{-1}$$Oben Einsetzen unter Vernachlässigung der Einheiten; die Zeit \(t \in \mathbb Q\) ist nun in Stunden zu zählen:$$\begin{aligned} (60-1)360 t &= \pm 120 + 360k_1 &&|\,\div 120\\ (360-30)t &= \pm 120 + 360k_2&&|\, \div 30\\ 3\cdot 59t &= \pm1 +3k_1 \\ 11 t &= \pm 4 + 12k_2 &&|\,t\space\text{eliminieren}\\ \implies 11(\pm1 +3k_1) &= 3\cdot 59(\pm 4 + 12k_2) \\ 11\cdot 3k_1 - 3\cdot 59\cdot 12k_2 &= \pm 3\cdot 59 \cdot 4 \mp 11 \\ \end{aligned}$$Das gibt diese Diophantische Gleichung, die offensichtlich mit \(k_1,\,k_2\in\mathbb Z\) nicht lösbar ist, da die linke Seite unabhängig von der Wahl von \(k_{1,2}\) immer durch \(3\) teilbar ist und die rechte Seite nicht.
Daraus folgt: Es gibt keine Uhrzeit, zu der die drei Zeiger paarweise einen Winkel von 120° bilden.
Gruß Werner
