Bestimmen Sie eine Differentialgleichung, die die Entwicklung des Gewichtes der Fischzucht G beschreibt,

Question

Aufgabe:

Es sei G(t) das Gewicht einer Fischzucht zum Zeitpunkt t ≥ 0 (gemessen in Wochen), die sich ohne Abweichung gemäß der logistischen Gleichung
entwickelt. Die Rahmenbedingungen seien so, dass bis zu 5 Tonnen Fisch in der
Zucht gehalten werden können. Über die gehaltene Fischart ist bekannt, dass die
Wachstumskonstante für das exponentielle Wachstum unter idealen Bedingungen λ = 0.05 beträgt.
1. Die Betreiber der Fischzucht überlegen (zum Zeitpunkt t=0), wöchentlich
gleichmäßig 40 Kilogramm Fisch abzufischen. Zu diesem Zeitpunkt seien
zwei Tonnen Fisch im Fischteich. Bestimmen Sie eine Differentialgleichung, die die Entwicklung des Gewichtes der Fischzucht G beschreibt,
und lösen Sie das entsprechende Anfangswertproblem. Rechnen Sie in Kg.

Problem/Ansatz:

ich weiß das die Differential gleichung folgende ist weiß aber nicht wie man darrauf kommt. Hilfe ist gern gesehen ich weiß auch leider nicht wie ich von diesem Punkt aus weiterrechne.

G1= 0.05/5000 *G(5000-G)-40

Comments

Über die gehaltene Fischart ist bekannt, dass die
Wachstumskonstante für das exponentielle Wachstum unter idealen Bedingungen λ = 0.05 beträgt.

Wie ist 'Wachstumskonstante' definiert? Heißt das, dass das Gewicht \(G\) so zunimmt?$$G(t) = G_0 \cdot e^{\lambda t}$$ So würde der Bestand 'über alle Grenzen' wachsen.

Aber:

G1= 0.05/5000 *G(5000-G)-40

ich unterstelle, dass G1 \(G'\) sein soll, sonst wäre es auch keine Differenzialgleichung. Nach dieser Gleichung ist das Wachstum der Fischmenge auf einen Wert unterhalb von 5000kg begrenzt.

Aber über die Art dieser Begrenzung steht nichts in der Aufgabenstellung! Fehlt da etwas? Oder impliziert man aus dem Gesamtzusammenhang so etwas wie$$G(t) =G_{\max}(1- e^{-\lambda (t+t_0)})$$zunächst ohne die Entnahme von 40kg pro Woche.

Wie ist das mit der 'Wachstumskonstante' gemeint?

Answer 1

Hallo
die Wachstumsgrenze S ist ja durch die 5t Fassungsvermögen gegeben, λ ist die Proportionalitatskonstante, nur ist nicht angegeben ob sie für t in Tagen oder Wochen gilt. Ich nehme an t in Wochen.
Logistisches Wachstum sagt, dass G' proportional zu G(t) und zur Differenz vom G und der Grenze (5000kg) ist
also G'(t)=λ*G(t)*(S-G(t))  ohne Entnahme.

Lösung findet man u.a. in wiki

Gruß lul