Funktionsterm als Produkt von Linearfaktoren darstellen

Question

Aufgabe:

Stellen sie den gegebenen Funktionsterm als Produkt von Linearfaktoren dar. Berechnen sie zunächst die Nullstellen.

Problem/Ansatz:

a) f(x) = x² + (1-a) x-a

b) f(x) = 2x² - (a+4) x + 2

bitte mit verständlichem Lösungsweg. Danke:)

Answer 1

Dank dem Hinweis von Arsinoë4 habe ich meinen Fehler verbessert:

\(f(x) = x^2 + (1-a)* x-a\)

\( x^2 + (1-a)* x-a=0\)

\( x^2 + (1-a)* x=a\)

\((x+\frac{1-a}{2} )^2=a+(\frac{1-a}{2})^2=a+\frac{1-2a+a^2}{4}=\frac{4a+1-2a+a^2}{4}=\frac{a^2+2a+1}{4}=\frac{(a+1)^2}{4}|\sqrt{~~}\)

1.)\(x+\frac{1-a}{2}=\frac{a+1}{2}\)

\(x=\frac{a+1}{2}-\frac{1-a}{2}\)

\(x₁=a\)

2.)\(x+\frac{1-a}{2}=-\frac{a+1}{2}\)

\(x=-\frac{a+1}{2}-\frac{1-a}{2}\)

\(x₂=-1\)

\(f(x)=(x-a)*(x+1)\)

Comments

Beide Nullstellen stimmen nicht. 4a - 2a ≠ -2a.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=x^2+(1-a)x-a$$Die ganzzahigen Nullstellen müssen Teiler der Zahl ohne "\(x\)" sein. Die Zahl ohne "\(x\)" ist das \(a\) am Ende. Da wir den Wert von \(a\) nicht kennen, probieren wir als Teiler einfach mal die Standard-Teiler \(\pm1\) und \(\pm a\). Einsetzen dieser 4 Kandidaten liefert Nullstellen bei \(x=-1\) und bei \(x=a\). Daher lautet die Faktorisierung:$$f(x)=(x+1)(x-a)$$

Bei der zweiten Funktion$$f(x)=2x^2-(a+4)x+2$$sind die Nullstellen nicht so offensichtlich, denn die Teiler von "\(2\)" sind \(\pm1\) und \(\pm2\), aber die Funktion wird dort nicht zu Null. Daher berechnen wir die Nullstellen mit der pq-Formel:$$2x^2-(a+4)x+2\stackrel!=0\quad\big|\,:\,2$$$$x^2\,\underbrace{-\frac{a+4}{2}}_{=p}\cdot x+\underbrace{1}_{=q}=0\quad\big|\text{pq-Formel anwenden}$$$$x_{1;2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}=\frac{a+4}{4}\pm\sqrt{\frac{(a+4)^2}{4^2}-1}=\frac{a+4}{4}\pm\sqrt{\frac{a^2+8a+16}{16}-\frac{16}{16}}$$$$\phantom{x_{1;2}}=\frac{a+4}{4}\pm\sqrt{\frac{a^2+8a}{16}}=\frac{a+4}{4}\pm\frac{\sqrt{a^2+8a}}{4}=\frac{a+4\pm\sqrt{a^2+8a}}{4}$$Damit haben wir die beiden Nullstellen gefunden und können die Faktorisierung angeben:$$f(x)=\left(x-\frac{a+4+\sqrt{a^2+8a}}{4}\right)\left(x-\frac{a+4-\sqrt{a^2+8a}}{4}\right)$$

Answer 3

Hallo,

Aufgabe a) mit pq-Formel:

\( \begin{aligned} x^{2}+(1-a) x-a=0 \\ x_{1,2} &=-\left(\frac{1-a}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\frac{1-a}{2}\right)^{2}+a} \\ &=-\left(\frac{1-a}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{1-2 a+a^{2}+4 a}{4}} \\ &=-\left(\frac{1-a}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{1+2 a+a^{2}}{4}} \\ &=-\left(\frac{1-a}{2}\right) \pm \sqrt{\frac{(a+1)^{2}}{4}} \end{aligned} \)

\(x_1=-\left(\frac{1-a}{2}\right)-\frac{a+1}{2}=-1\\ x_2=-\left(\frac{1-a}{2}\right)+\frac{a+1}{2}=a \)

Damit ist \(f(x)=(x+1)(x-a)\)

Gruß, Silvia