Hallo,
bei der Aufgabe weißt ich net ob man die F Funktion bestimmen soll, damit man die Fragen beantwortet
Nein - das ist nicht nötig!
a) An welchen Stellen ist \( F(x)=0 \) ?
dort, wo der Graph von \(F(x)\) und die X-Achse gemeinsame Punkte haben. Das sollte nicht schwer sein. Ich habe Dir in folgendem Bild einige Punkte markiert. Die Punkte mit \((\dots,\,0)\) sind die Nullstellen.
b) An welchen Stellen ist \( f(x)=0 \) ?
Da wäre zunächst zu klären, was \(f(x)\) ist. \(F(x)\) soll die Stammfunktion von \(f(x)\) sein. Also muss \(f(x)\) die Ableitung von \(F(x)\) sein. Die Ableitung einer Funktion gibt in jedem Punkt an, wie groß dort die Steigung ist. Die Steigung an einer gewünschten Stelle bestimmt man, indem man an die Funktion im gewünschten Punkt eine Tangente anlegt (grün gestrichelt im Bild oben). Dann zeichnet man das Steigungsdreieck (lila) indem man vom Punkt waagerecht eine Einheit nach rechts \((+x)\) geht und die vertikale Strecke (rot) von hier bis zur Tangente misst.
Diese Strecke überträgt man dann als Funktionswert von \(f(x)\) (grün) an der gewünschten Stelle. Verläuft die rote Strecke vom aktuellen Punkt aus nach oben, ist die Steigung positiv, läuft sie nach unten, ist die Steigung negativ.
Wenn also gefragt ist, wo \(f(x)=0\) ist, fahre den Punkt mit der Maus nach rechts und achte darauf, an welcher Stelle die rote Strecke zu \(0\) wird, d.h. verschwindet. Das ist zwangsläufig der gleiche Ort, wo die Ableitung \(f(x)\) die X-Achse schneidet. Also$$x_1 = -1, \quad x_2=3$$
c) Bestimmen Sie \( \int \limits_{1}^{3} f(x) \,\text d x \).
Dies ist in jedem Fall das Delta der Stammfunktion in den gesetzten Grenzen - hier \([1,\,3]\)$$\int \limits_{1}^{3} f(x) \,\text d x = F(3) - F(1) = 2-1 = 1$$... und ist weiter die Fläche (gelb) unter der Kurve in diesem Intervall. Die Funktionswerte von \(F(1)\) und \(F(3)\) kannst Du dem Graphen ohne Kenntnis der Funktion \(F(x)\) entnehmen.
d) Ist \( f(1)<f(3) \) ? Begründen Sie.
Die Antwort ist 'nein'. Und die Begründung sollte für Dich nun einfach sein, wenn Du meine Erläuterung in b) verstanden hast. Fahre die linke Ecke des Steigungsdreiecks an die Positionen \(x=1\) und \(x=3\). Wie groß ist jeweils die rote Strecke und damit der Funktionswert von \(f(x)\)?
Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich noch mal.
Gruß Werner
