4 Aufgaben Ableitungen mit der Quotientenregel Vereinfachen

Question

 ich benötige ein wenig Hilfe mit der Quotientenregel und einigen Aufgaben (4)

Hier die Aufgaben: 1.                f(x)= (x^2-1)/(x+4)^2

ich habe es soweit geschafft: f'(x)= 2x(x+4)^2-(x^2-1)*(2x+8)/(x+4)^4

jetzt habe ich Probleme mit dem Vereinfachen


Nummer 2: f(x)=e^3x/x-1

                     f'(x)=3e^3x * (x-1) - (e^3x) * 1 / (x-1)^2

Erneut Probleme weiter zuvereinfachen


Aufgabe 3: f(x)=(e^2x-1)/x^2

                    f'(x) =2e^2x-1 * (x^2) - (e^2x-1)* 2x/(x^4)

Auch hier bekomme ich das Vereinfachen nicht hin


Aufgabe 4: √2x-3/2x

Ich weiß nicht wie ich mit der Wurzel umgehen soll. Es wäre sehr nett, wenn ihr mir hierzu einen Hilfsweg aufschreib mit u= und u'=...


Zu dem Vereinfachen ich habe es bereits probiert, aber das ist falsch und deswegen wäre es sehr nett, wenn ihr mir für jede Aufgabe die Vereinfachung aufschreibt und vielleicht noch sagt, wie ihr darauf kommt!


 

Answer 1

1) Nun, wenn du nicht ausmultipliziert hättest, dann hättest du statt

f'(x)= 2x(x+4)²-(x²-1)*(2x+8)/(x+4)⁴

dort stehen:

f'(x)= [2x(x+4)²-(x²-1)*2*(x+4)]/(x+4)⁴

(Achte auch auf die zusätzlichen Klammern, die ich in Rot eingefügt habe - die sind unbedingt notwendig, um den Zähler gegen den Nenner abzugrenzen)

Nun kannst du einmal mit ( x + 4 ) kürzen:

= [2x(x+4)-(x²-1)*2]/(x+4)³

Jetzt ausmultiplizieren:

= ( 2 x ² + 8 x - 2 x ² - 2 ) / ( x + 4 ) ³

= ( 8 x - 2 ) / ( x + 4 ) ³

2)

f'(x)= [3e^3x * (x-1) - (e^3x) * 1 ] / (x-1)²

e ^{3 x} ausklammern:

= e ^{3 x} ( 3 ( x - 1 ) - 1) / ( x - 1 ) ²

Ausmultiplizieren und zusammenfassen:

= e ^{3 x} ( 3 x - 4 ) / ( x - 1 ) ²

3)

Hier hast du die Ableitung falsch berechnet. Es ist:

f(x)=(e^2x-1)/x²

f ' ( x ) =  ( 2 e ^{2 x} * x ² - ( e ^{2 x} - 1 ) * 2 x ) / x ⁴

Kürzen mit x:

=  ( 2 e ^{2 x} * x - ( e ^{2 x} - 1 ) * 2 ) / x ³

Ausmultiplizieren:

=  ( 2 e ^{2 x} * x - 2 e ^{2 x} + 2 ) / x ³

2 e ^{2 x}  aus den ersten beiden Summanden ausklammern:

=  ( 2 e ^{2 x} ( x - 1 ) + 2 ) / x ³

4)

Vermutlich meinst du:

f (x ) = √ ( 2 x - 3 ) / 2 x

u = √ ( 2 x - 3 )

Es gilt: ( √ ( x ) ) ' = 1 / ( 2 * √ x ) , also, mit innerer Ableitung:

u ' = 2 * 1 / 2 ( √ ( 2 x - 3 ) )

Daher:

f ' ( x ) = ( 2 * 1 / 2 ( √ ( 2 x - 3 ) ) * 2 x - √ ( 2 x - 3 ) * 2 )  / ( 4 x ² ) 

= ( 2 x  / √ ( 2 x - 3 ) - 2 * √ ( 2 x - 3 ) ) / ( 4 x ² )

Mit √ ( 2 x - 3 ) erweitern:

= ( 2 x - 2 * ( 2 x - 3 ) ) / ( ( 4 x ² ) * √ ( 2 x - 3 ) )

Mit 2 Kürzen:

= ( x - 2 x + 3 ) / ( ( 2 x ² ) * √ ( 2 x - 3 ) )

Zähler zusammenfassen:

= ( - x + 3  ) / ( ( 2 x ² ) * √ ( 2 x - 3 ) )