Nullstellen mehrerer Funktionen iterativ

Question

Hallo,
für eine Berechnung von konkreten Lösungen bin ich auf ein für mich unlösbares Problem gestoßen.

Gesucht: Formel für Nullstellen mehrerer Funktionen iterativ

Gegeben:

2 Funktionen, 2 Variable

f₁(a₁, a₂)=e₁
f₂(a₁, a₂)=e₂

e₁ und e₂ sind gegeben. a₁ und a₂ sind gesucht.

Wenn f₁ und f₂ linear sind, kann ich das mit 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten lösen. Das ist klar.

Wenn aber die Funktionen und ihre Ableitungen unbekannt, ihre Funktionswerte aber berechenbar sind (zum Beispiel mit einem Excel-Blatt mit vielen Formeln, das ich erhalten habe):

Frage: Wie kann man a1 und a2 näherungsweise, also iterativ, bestimmen? Gibt es dafür eine Formel?

Jetzt verwende ich den Excel-Solver. Geht recht einfach, würde es aber gerne selbst machen.

Liebe Grüße, Robert

PS: Nebenfrage: Kann man in diesem Editor Indizes einfach eintippen, also ohne das "tiefgestellt"-Symbol anklicken zu müssen?

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PS: Nebenfrage: Kann man in diesem Editor Indizes einfach eintippen, also ohne das "tiefgestellt"-Symbol anklicken zu müssen?

\ ( f_1(a_1, a_2)=e_1 ) bzw. $ $ f_1(a_1, a_2)=e_1$ $

Ohne die Leerzeichen dazwischen sieht das so aus:

\( f_1(a_1, a_2)=e_1 \) bzw. $$f_1(a_1, a_2)=e_1 $$. Letzteres erzeugt eine abgesetze Formel in einer eigenen Zeile, ersteres die Formel im Fließtext.

Answer 1

Ich hatte mal ein kleines Skript geschrieben. Kannst Du damit was anfangen?

Comments

Hi ulim,

damit kann ich leider nichts anfange, da ich wie gesagt keine Ableitungen kenne.

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Habs nicht ausprobiert, aber die Ableitungen können ja näherungsweise berechnet werden. Hast Du das schonmal versucht?

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Nein, ich habe es noch nicht versucht.

Auch ich bin überzeugt, dass die Ableitungen näherungsweise berechnet werden können. Mehr noch, ich hoffe, dass das jemand schon gemacht und als Formel irgendwo veröffentlicht hat.

Leider habe ich im www nichts gefunden, deshalb frage ich mal hier. Vielleicht kann ich mir es ersparen, es selbst zu versuchen.

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Schick doch mal eine Beispiel Datei. Vielleicht finde ich nächste Woche Zeit ein wenig zu probieren.

Answer 2

Es würde leichter fallen die konkreten Funktionen zu kennen, um einen alternativen Weg auszuarbeiten

Grundsätzliches (Newton-Iteration) unter

https://www.geogebra.org/m/ak9yd6yn

Da werden einmal die Ableitungen benötigt (Jacobi-Matrix, wie bei ullim), weil man Inverse in der Praxis nicht gern verwendet ist gibt es auch ein

"Linearisieren der Funktion f "

Link: Iteration(sschritte) in einer linearen Gleichung

wie das zu Deinem Problem passt - weiß es net ;-)

Ach ja: Ableitung mit Differenzen-Quotient

h=0.0001 (z.B "klein genug" )

\(Newton2(x) \, :=  \, x - \frac{f\left(x \right)}{\frac{f\left(x + h\right) - f\left(x \right)}{h}}\)

Comments

Ich habe ein Excel-Kalkulationsblatt bekommen, nicht selbst erstellt. Oben werden 2 Werte eingetragen, m2 und Preis. Unten kommt Baudauer und Gewicht raus. Dazwischen sind Rechnungen, Formeln, und Zahlen, die den Zusammenhang herstellen. Sicher kann ich das alles erforschen und eine Funktion aufstellen. Da ist aber sehr zeitaufwändig.

Ja, wenn ich die Funktion kenne, dann kenne ich auch die Ableitung, dann wäre es kein Problem, die Jacobi-Matrix zu bestimmen, Inverse bilden (ist eine Excel-Funktion) und dann schrittweise annähern.

Ich probiere mal die Jacobi-Matrix mit dem Differenzenquotienten.

Danke für Eure Hilfe.