Wahrscheinlichkeit: 2 Maschinen produzieren defekte und gute Batterien

Question

Hallo Mathefreunde,

 

es wäre nett, wenn eine/r von Euch mal meine Lösung folgender Aufgabe kontrollieren könnte:

 

In einer Fabrik werden Batterien produziert. Es gibt zwei Maschinen A und B.
30% der defekten Batterien der gesamten Tagesproduktion beider Maschinen stammen von Maschine A.
20% der guten Batterien der gesamten Tagesproduktion beider Maschinen stammen von Maschine B.
6% der Tagesproduktion von A sind defekte Batterien.
Eine Batterie wird zufällig aus der gesamten Tagesproduktion ausgewählt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie defekt ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie von Maschine A stammt?

 

Ich habe aus den Angaben folgendes Baumdiagramm erstellt:

Aus der Information

"6% der Tagesproduktion von A sind defekte Batterien."

habe ich gefolgert

0,3x = 0,06 | Dies ist, so fürchte ich, falsch :-(

x = 0,2

1 - x = 0,8

und damit

a) W., dass eine Batterie defekt ist = 0,2

b) W. dass die Batterie von Maschine A stammt = 0,2 * 0,3 + 0,8 * 0,8 = 0,7

 

Liege ich richtig?

 

und liebe Grüße

Andreas

Answer 1

Ich hab dazu eine Vierfeldertafel gezeichnet, die dein Resultat bestätigt. STIMMT NICHT. NEUER VORSCHLAG UNTEN!

..                           A                 B
Defekt              0.06
Gut

..                           A                 B
Defekt              0.06             0.14                0.2
                           30%           70%
Gut                                                                 0.8
                           80%           20%

..                           A                 B
Defekt              0.06             0.14                0.2
                           30%           70%
Gut                     0.64           0.16                0.8
                           80%           20%
------------------------------------------------------------
                        0.7                0.3                     1

Neuer Ansatz: Annahme A produziert täglich 100 Stück:

..                           A                          B
Defekt              6
Gut                   94
______________________________
                          100

..                           A                          B
Defekt              6                             14                  20
                        30%                       70%
Gut                   94                          23.5               117.5
                         80%                      20%
______________________________
                          100                       37.5                 137.5

..                           A                          B
Defekt              6/137.5                14/137.5            20/137.5
                        30%                       70%
Gut                   94/137.5              23.5/137.5        117.5/137.5
                         80%                      20%
______________________________
                          100/137.5          37.5/137.5          137.5/137.5

Comments

@Lu:

Vielen Dank für Deine Antwort, aber ich glaube, wir liegen beide falsch:

"6% der Tagesproduktion von A sind defekte Batterien."

Wenn P(Defekt und A) = 0,06 und P(A) = 0,7, dann wären von der Tagesproduktion von A meiner Meinung nach 0,06/0,7 ≈ 0,0857 defekt, also mehr als 8,5% ???

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Da hast du Recht. Ich schau mir mal die Aufgabe nochmals an.

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@Lu:

Vielleicht so:

(x * 0,3) / (x * 0,3 + (1 - x) * 0,8) = 0,06 <=>

x = 8/55

1 - x = 47/55

?

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Alle Werte, die ich dort in meiner Tabelle durch 137.5 teile, bilden meine neue Vierfeldertafel.

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@Lu:

Eine gute und nachvollziehbare Lösung!!

Und: Sie deckt sich sogar mit meiner Korrektur, die ich im letzten Kommentar aufgeführt habe :-)

Es bleibt mir - wie so oft - nur zu sagen:

Ganz herzlichen Dank!!!

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Bitte. Gern geschehen.
Wollte oben bei meinem neuen Versuch die Überschrift noch blau färben. Das ging leider in keiner Farbe. Der Editor reklamierte sofort, ich hätte da mehr als 8000 Zeichen.

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Kein Thema,

Du hast mir mehr als geholfen - blaue Überschrift oder nicht :-D

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@Lu: Das Problem ist, dass jedes Leerzeichen (um erhalten zu bleiben) als &nbsp; gespeichert wird. Daher kommst du auf mehr als 8000 Zeichen.

Besser wäre es gewesen, eine bzw. mehrere Tabellen zu erstellen. Dazu das letzte Symbol im Editor benutzen.

...	A	B
Defekt	0.06	0.14
etc.

Tipp: Eigenschaften der Tabelle können nachträglich verändert werden, rechte Maustaste auf die Tabelle und Auswahl treffen.

Hoffe, das hilft :)
lg Kai

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Hier noch ein Weg mit Baumdiagramm:

Damit in WolframAlpha: Liefert: x = 8/11 und y = 28/75

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x*0.06+%2F%28x*0.06+%2B+y%281-x%29%29+%3D+0.3%2C+%281-y%29%281-x%29+%2F%280.94x+%2B+%281-y%29%281-x%29%29+%3D+0.2

Aber ihr seid euch ja inzwischen einig zu den Resultaten.

Answer 2

Hallo Andreas, hallo Lu,

hier mein Lösungsweg

Anzahl der Batterien
A = von Maschine A
B = von Maschine B
D = Defekte
G = Gute

Angenommen
A = 100
Defekte von A = 6 % =
D(A) = 6
diese sind 30 % der insgesamt
defekten Batterien
D = 20
G(A) =Gute von  A  = 80 % von G
A = D(A) + G(A)
100 = 6 + 0.8 * G
G = 94 / 0.8
G = 117.5
D + G = A + B
20 + 117.5 = 100 + B
B = 37.5
Zusammenfassung :
A = 100
B = 37.5
D = 20
G = 117.5
D(A) = 6
Zu Frage
a.)
20 / 137.5 = x / 100
x = 14.5 %
b.)
6 / 137.5 = x / 100
x = 4.36 %

mfg Georg

Bemerkung : bei Wahrscheinlichkeitsrechnungen komme
ich immer schnell durcheinander. Auch diese Berechnungen
sind durch zahllose Irrungen und Wirrungen entstanden.
Mich hatte eigentlich die Grafik von Andreas angelockt.
Das sah so schön klar und übersichtlich aus. Ihr seid
dann aber auch ziemlich umhergeirrt.

Comments

@georgborn:

Vielen Dank für Deine Antwort, die uns jetzt einen dritten Weg zur Lösung dieser Aufgabe gezeigt hat!

 

Bei der a) sind wir uns einig

Lu: 20/137,5 = 0,145454545 ...

Du: 14,5% = 0,145

Ich: 8/55 = 0,1454545 ...

 

Nicht so bei der b) W. dass die Batterie von Maschine A stammt

Das heißt meiner Meinung nicht, dass sie defekt ist und von A stammt, sondern einfach nur, dass sie von A stammt.

So ist die Anzahl der von A produzierten Batterien durch die Gesamtanzahl aller produzierten Batterien zu dividieren.

Was Lu als Ergebnis angegeben hätte, weiß ich leider nicht.

Du: 4,36% = 0,0436

Ich: 8/55 * 0,3 + 47/55 * 0,8 = 0,727272 ...

 

Lieben Gruß

Andreas

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@Andreas

ich hab die Frage b.) nicht richtig gelesen. Stimmt.
Ich hätte dann als Ergebnis auch 100 / 137.5 = 72.72 % heraus.

mfg Georg

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@Georg:

Gut, dann sind wir 3 uns also einig :-)

100/137,5 ≈ 72,73% schließt die Sache wohl ab :-D

Besten Gruß

Andreas