Gleichungen lösen 4.Grad

Question

Aufgabe: x^4-7x^3+x^2+63x-90=0

Ich weiß nicht wie man das rechnen soll, vielleicht mit der substitutionsmethode? Danke für Antworten, hab bald SA...

Answer 1

Sollte es ganzzahlige Lösungen geben, so sind diese Teiler von 90.

Finde sie, dann Polynomdivision durch den/die Linearfaktoren.

Nachtrag: alle 4 Lösungen sind ganzzahlig und betragsmäßig nicht besonders groß.

Comments

Teiler wären 1, 2, 3, 9 und so weiter. Aber was mach ich danach?

Danke für die Antwort!

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Bei solchen Polynomen gibt es eine sehr nützliche Regel:

"Alle ganzzahligen Nullstellen sind Teiler der Zahl ohne x."

Die Zahl ohne x ist hier die \(90\). Sie hat sehr viele Teiler. Wir schreiben mal die ersten auf:$$\pm1\quad\pm2\quad\pm3\quad\pm5\quad\pm6\quad\cdots$$und setzen sie in das Polynom ein. Wir finden Nullstellen bei:$$x=2\quad x=3\quad x=-3\quad x=5$$

Da ein Polynom 4-ten Grades maximal 4 Nullstellen haben kann, sind wir fertig.

Answer 3

x^4 - 7·x^3 + x^2 + 63·x - 90 = 0

Über eine Wertetabelle findet man leicht die Lösungen x = 5 ∨ x = -3 ∨ x = 3 ∨ x = 2

Mehr Nullstellen kann es nicht geben und damit hat man alle Nullstellen gefunden. Wer jetzt noch eine Polynomdivision oder das Horner Schema macht, hat den Sinn nicht verstanden.

Comments

Ich freue mich, dass du meinen Hinweis

alle 4 Lösungen sind ganzzahlig und betragsmäßig nicht besonders groß.

erfolgreich anwenden konntest.

Ohne diese Glückstreffer (eine Nullstelle hätte auch 45 sein können) hättest du bei der Wertetabelle bestimmt noch GAAAANZ viel Spaß gehabt.

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Bei Schulpolynomen findet man meist diverse Nullstellen im Bereich von -10 bis +10. Über eine solche Wertetabelle erschlägt man die meisten Teiler ohnehin.

Zudem gilt bei Schulpolynomen meist noch das ungeschriebene Gesetz, dass sich mind. eine Nullstelle im Bereich von -3 bis +3 befinden sollte, damit die Schüler nicht so lange Teiler durchprobieren bis ihnen schlecht wird.

Leute mit einem modernen Taschenrechner, die Polynome bis zum 4. Grad lösen können, dürfen im Hilfsmittel-Teil auch die Funktion im Taschenrechner zum raten benutzen.

Im hilfsmittelfreien Teil kann man meist sogar davon ausgehen, dass 1 oder -1 eine erste Nullstelle ist.