Populationsmatrizen eier larven pupprn insekten

Question

Hallo, ich habe Schwierigkeiten bei der Augabe, die mein Lehrer mir gegeben hat. Ich habe eigentlich alles rausbekommen. Aber e verstehe ich nicht. Weil die Aufgabe ist so kurz gestellt und ich verstehe deshalb nicht genau was ich machen soll. Was könnte man da berechnen und wie würde dies gehen?

Aufgabe:
Eine Population besteht aus Eiern, Larven, Puppen und Insekten

Populationsmatrix M=

0    0 0 90
1/3 0 0 0
0 1/3 0 0
0 0 1/3 0

Startpopulation p


9000
3000
900
700

a) Übergangsgraph

b) Leslie-Matrix?

c) Bestimme p₁, P2. P3 P4 [Hinweis: p₁ = P.4]

d) Bestimme M² und M4

e) Populationszahlen, die sich von Generation zu Generation wiederholen.

f) Neue Populationsmatrix N =

0   0   0   45
1/3 0 0  0
0 1/3 0  0
0 0 1/10 0

-Vergleiche M mit N.

-Vergleiche M4 mit N4.

-Bedeutung von N4 für die Population auf lange Sicht?

Answer 1

Löse die Gleichung

Gut geeignet ist das Einsetzungsverfahren. Es gibt hier allerdings keine Lösung bzw. die einzige Lösung ist ein Nullvektor, der allerdings keine Population angibt. Also gibt es keine Population, die sich von Generation zu Generation wiederholt.

Comments

Woher weiß man genau das es keine Lösung gibt?

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Wenn das versuchte Lösen des Gleichungssystems zu einem Wiederspruch führt

90*d = a
1/3*a = b
1/3*b = c
1/3*c = d

Wir setzen in 90*d = a mal d = 1/3*c ein

90*(1/3*c) = a

Ebenso ersetzen wir c

90*(1/3*(1/3*b)) = a

Und ersetzen jetzt noch b

90*(1/3*(1/3*(1/3*a))) = a

Nun vereinfachen wir beide Seiten der Gleichung

90*1/3*1/3*1/3*a = a
10/3*a = a

Das ist jetzt aber nur für a = 0 erfüllt, was zu b = c = d = 0 führt und das ist keine gültige Population.

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Okay danke schöööön

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Ich hätte noch eine kurze Frage, wenn dies okay wäre.

Wie wäre das selbe mit der Matrix

0   0 0 90
1/3 0 0 0
0 1/3 0 0
0 0 1/10 0

Weil da würde zum schluss a=a rauskommen.

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Wenn a = a heraus kommt löst du es in Abhängigkeit von a. Du hast dann ein Freiheitsgrad

90*d = a --> d = a/90
1/3*a = b → b = 1/3*a
1/3*b = c → c = 1/3*b = 1/3*(1/3*a) = 1/9*a

Mit a = 90 ergibt sich der Lösungsvektor

[a, b, c, d] = [90, 30, 10, 1]

Mache damit jetzt die Probe.

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Was ist dann der antwortssatz?

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Eine Population aus

90 Eiern, 30 Larven, 10 Puppen und 1 Insekten

ist die kleinste ganzzahlige Population, die sich in jedem Schritt reproduziert.

Ebenso ein beliebiges vielfaches dieser Population.