Grenzwertberechnung und Ableitungen

Question

Aufgabe:

1.Berechne Grenzwert
lim x^2-64/12x+96
x->-8
2. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion im Unendichen und geben Sie die Gleichung der waagerechten Asymptote an.
\( f(x)=\frac{-4 x^{5}-9 x^{3}+7 x^{2}-8}{\frac{1}{6} x^{5}+5 x^{4}-2 x} \)
3. Untersuchen Sie die abschnittsweise definierte Funktion \( f \) an der Nahtstelle auf Stetigkeit.
a) \( f(x)=\left\{\begin{array}{ccc}4 x^{3}-3 x^{2}-6 & \text { für } & x \leq 2 \\ 7 x+2 & \text { für } x>2\end{array}\right. \)
b) \( f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2 x^{2}-7 x+5 & \text { für } x<3 \\ -3 x^{2}+12 x-7 & \text { für } x \geq 3\end{array}\right. \)

4. Berechnen Sie mithilfe des Differentialquotienten die 1. Ableitung von \( f \) an der Stelle \( x_{0} \). Geben Sie auch die Gleichung der Tangente an den Graph der Funktion \( \mathrm{f} \) an der Stelle \( \mathrm{x}_{0} \) an.
f(x)=18/x+4
x0=2

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte jemand die Aufgaben lösen...ich bekomme nicht mal den richtigen Ansatz hin :(

Comments

Ich sehe 4 Aufgaben in einer Frage...

Answer 1

lim x^2-64/12x+96
x->-8

Wohl so gemeint

\(  \lim\limits_{x\to -8} \frac{x^2 - 64 }{12x+96} \)

Erst mal den Bruchterm umformen und kürzen

\(  \frac{x^2 - 64 }{12x+96} =  \frac{(x - 8)(x+8) }{12(x+8)} =  \frac{(x - 8)(x+8) }{12(x+8)}=  \frac{x - 8 }{12}\)

Damit kommst du klar !?

2. Für x gegen ±∞ ist der Grenzwert eine Zahl. Bestimme die mal.

3. Du musst nur schauen, ob beide Terme an der Nahtstelle

den gleichen Wert liefern.

4. Schau mal nach wie man einen Differentialquotienten bildet.

Kannst dann ja nochmal nachfragen.

Comments

Ich danke dir,habe 1-3 verstanden!!!

Bei 4.allerding

Ich bilde nun den Differentialquotienten

Aber komme nicht damit klar wie ich nun bei 18/x+4 vorgehe/vereinfache

Also habe ich nun in der Differentialquotientengleichung

(18/x+4 -3) / (x-2)

habe es so und nicht als Bruch dargestellt.

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Wie so oft: Was meinst Du eigentlich:

$$\frac{18}{x}+4 \text{   oder  }\frac{18}{x+4}$$

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das Zweitere,entschuldige komme noch nicht so klar mit der Schreibung hier

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Also ist es wohl so:  \(\frac{18}{x+4}\)

und der Diff.quot ergibt sich als

\(\lim\limits_{x\to 2} \frac{ \frac{18}{x+4}-3}{x-2} =\lim\limits_{x\to 2} \frac{ \frac{18}{x+4}-\frac{3(x+4)}{x+4}}{x-2} \)

\(=\lim\limits_{x\to 2} \frac{ \frac{18}{x+4}-\frac{3x+12}{x+4}}{x-2}=\lim\limits_{x\to 2} \frac{ -3x+6}{(x-2)(x+4)} =\lim\limits_{x\to 2} \frac{ -3(x-2)}{(x-2)(x+4)} \)

Für x≠2 kann man kürzen und es bleibt der Grenzwert

von -3/(x+4) für x gegen 2 und das ist -3/6=-1/2,

also f'(2)=-1/2.

Also hat die Tangente die Steigung -0,5.

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Danke dir.Wo kommen die (x+4) her,nachdem sie doch nicht mehr da waren,denn davor sind unten ja nur(x-2)

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Hatte ich im Schritt davor vergessen. Wird korrigiert.