Grenzwertberechnung, L'Hospital, Spezialfall

Question

Berechnen Sie

lim                                (\( \frac{1}{x} \) - \( \frac{1}{e^x - 1} \))

x-> 0

Mein Vorschlag:

Zu Beginn den Wert gegen den x verläuft in die Funktion einsetzen.

= (\( \frac{1}{0} \) - \( \frac{1}{e^0 - 1} \)) = Unendlich - Unendlich

ab hier Gesetz L'Hospital anwenden?

Answer 1

Der "Trick" besteht darin , zuerst  den Hauptnenner zu bilden.

Danach wendest Du L'Hospital an .(Möglicherweise mehrfach)

Ergebnis: 1/2

Comments

lim    =        \( \frac{e^x -1 -x}{x-e^x  - 1} \)

x->0

So etwa?

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Im Nenner muss ein Produkt stehen: x*(e^x-1) --> Produktregel anwenden! 

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= lim(x->0)   ( e^x -1 -x) /( x(e^x-1))

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lim            e^0-1-0/0*(e^0-1)= 0/0

x-> 0

lim            e^x-1/e^x - 1 (1+x) = 0/0

x-> 0

lim            e^x/e^x-1*(1+x)= 1/1-1+0= 1/0

x-> 0

???

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der weitere Weg:

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wie kommst Du auf 1/x+2?

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Durch Anwendung der Produktregel beim Nenner:

y=e^{x+2}

u =e^x ;   v=x+2

u' =e^x ;  v'= 1

allgemein:

y' =u'v +u*v'

y' =e^x (x+2) *e^x*1

y' =e^x (x+2) *e^x

y' =e^x (x+2) 

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Hätte man sich nicht den letzten Rechenschritt ersparen können und die 0 in den vorletzten Rechenschritt einsetzen können? Da käme auch 1/2 raus.(beziehe mich auf dein Bild)

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ja das geht auch

Answer 2

Hauptnenner bilden, dann L'Hospital anwenden.

Comments

lim    =        \( \frac{e^x -1 -x}{x-e^{x} - 1} \)

x->0

So etwa?