Grenzwertberechnung Probleme mit Potenz

Question

Aufgabe:

Es soll der limes berechnet werden. Was wird hier mit der Potenz gemacht?

Text erkannt:

(a)
\( \lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{10}}{\mathrm{e}^{2 x}}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{10}}{\mathrm{e}^{\frac{x}{5} \cdot 10}}\right)=\lim \limits_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x}{\mathrm{e}^{\frac{x}{5}}}\right)^{10}=\left(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{x}{\mathrm{e}^{\frac{x}{5}}}\right)^{10} \neq\left|\begin{array}{c} \text { 1'Hospital } \\ \text { Regel } \end{array}\right|=\left(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\frac{1}{5} \cdot \mathrm{e}^{\frac{x}{5}}}\right)^{10}=\left(\lim \limits_{x \rightarrow \infty} \frac{5}{\mathrm{e}^{\frac{x}{5}}}\right)^{10}=\underline{=} \)

Answer 1

Hi,

man hat erkannt, dass man den l'Hospital anwenden kann. Im Originalausdruck hätte man l'Hospital vielfach ausführen müssen, weswegen der Exponent rausgezogen wurde. Nun ist nur einmalig l'Hospital anzuwenden ;).

Grüße

Comments

Okay ja, das mit dem L‘Hosptial habe ich gesehen. Aber wenn ich die Potenz aus x^10 rausziehe. wieso wird dann die Potenz der E funktion mit 10 multipliziert?

---

Erstmal wird der Zähler- und Nennerexponent so gebaut, dass sie sich ähnlich sind. Im Nenner wird also umgeschrieben:

\(2x = 2x\cdot\frac{10}{10} = \frac{2x}{10}\cdot\frac{10}{1} = \frac{x}{5} \cdot10\),

denn wir wollen den Exponenten 10 aus sowohl Zähler als auch Nenner rausziehen. Mit meinem Zwischenschritt siehst Du das nun? ;)

---

Okay verstehe. Gibt es noch ein anderes Beispiel für eine Grenzwertberechnung wo man genau das selbe Verfahren machen muss?

---

Man muss es gar nicht machen. Man kann. Man kann aber auch Vielfach l'Hospital anwenden oder wie bei ggT22 direkt argumentieren.

Wo immer Du Dich am wohlsten fühlst mit.

Wenn es Dir generell um das Erweitern geht, das findet man in vielen Bruchaufgaben :).

Answer 2

Es wurde angewendet: a^n/b^n = (a/b)^n , Potenzgesetz

e^(x/5*10) = e^(2x)

e^(2x) wächst schneller als x^10.

Daher kann man den lim ablesen, falls nichts anderes gefordert ist.