Aloha :)
Alle Vektoren \(\binom{x_1}{x_2}\) im Kern müssen folgende Gleichung erfüllen:$$\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\\a & 0\end{pmatrix}\cdot\binom{x_1}{x_2}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Die linke Seite können wir umformen:$$\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}\cdot x_1+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot x_2=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Damit die Gleichung für die erste Komponente erfüllt ist, muss gelten:$$1\cdot x_1+1\cdot x_2=0\implies \pink{x_2=-x_1}$$Damit formen wir die Gleichung weiter um:$$\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}\cdot x_1+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot (-x_1)=\begin{pmatrix}x_1-x_1\\0-0\\ax_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\ax_1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$
Für \(a=0\) ist die letzte Koordinatengleichung immer erfüllt, egal welchen Wert \(x_1\) hat. Daher sind in diesem Fall alle reellen Zahlen für \(x_1\) zugelassen und die Vektoren des Kerns lauten:$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1}{-x_1}=x_1\binom{1}{-1}$$Ein Basisvektor des Kerns ist also z.B. \(\binom{1}{-1}\).
Für \(a\ne0\) ist die letzte Koordinatengleichung nur erfüllt, wenn \(x_1=0\) ist. Dann ist aber auch \(x_2=-x_1=0\), sodass in diesem Fall der Kern nur aus dem Nullvektor \(\binom{0}{0}\) besteht.
