Aloha :)
Alle Vektoren (x2x1) im Kern müssen folgende Gleichung erfüllen:⎝⎛10a100⎠⎞⋅(x2x1)=⎝⎛000⎠⎞Die linke Seite können wir umformen:⎝⎛10a⎠⎞⋅x1+⎝⎛100⎠⎞⋅x2=⎝⎛000⎠⎞Damit die Gleichung für die erste Komponente erfüllt ist, muss gelten:1⋅x1+1⋅x2=0⟹x2=−x1Damit formen wir die Gleichung weiter um:⎝⎛10a⎠⎞⋅x1+⎝⎛100⎠⎞⋅(−x1)=⎝⎛x1−x10−0ax1⎠⎞=⎝⎛00ax1⎠⎞=!⎝⎛000⎠⎞
Für a=0 ist die letzte Koordinatengleichung immer erfüllt, egal welchen Wert x1 hat. Daher sind in diesem Fall alle reellen Zahlen für x1 zugelassen und die Vektoren des Kerns lauten:(x2x1)=(−x1x1)=x1(−11)Ein Basisvektor des Kerns ist also z.B. (−11).
Für a=0 ist die letzte Koordinatengleichung nur erfüllt, wenn x1=0 ist. Dann ist aber auch x2=−x1=0, sodass in diesem Fall der Kern nur aus dem Nullvektor (00) besteht.