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Aufgabe:

… Kern einer Matrix bestimmen

Gegeben ist folgende Matrix  1 1

                                              0 0     (3x2)  muss man nun Kern Bestimmen

                                              a 0 
Problem/Ansatz:

… Kann mir bitte jemand erklären, wie man bei solche Matrixen Kern bestimmen kann ?

Vielen Dank in voraus

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Aloha :)

Alle Vektoren (x1x2)\binom{x_1}{x_2} im Kern müssen folgende Gleichung erfüllen:(1100a0)(x1x2)=(000)\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\\a & 0\end{pmatrix}\cdot\binom{x_1}{x_2}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}Die linke Seite können wir umformen:(10a)x1+(100)x2=(000)\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}\cdot x_1+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot x_2=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}Damit die Gleichung für die erste Komponente erfüllt ist, muss gelten:1x1+1x2=0    x2=x11\cdot x_1+1\cdot x_2=0\implies \pink{x_2=-x_1}Damit formen wir die Gleichung weiter um:(10a)x1+(100)(x1)=(x1x100ax1)=(00ax1)=!(000)\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}\cdot x_1+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot (-x_1)=\begin{pmatrix}x_1-x_1\\0-0\\ax_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\ax_1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}

Für a=0a=0 ist die letzte Koordinatengleichung immer erfüllt, egal welchen Wert x1x_1 hat. Daher sind in diesem Fall alle reellen Zahlen für x1x_1 zugelassen und die Vektoren des Kerns lauten:(x1x2)=(x1x1)=x1(11)\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1}{-x_1}=x_1\binom{1}{-1}Ein Basisvektor des Kerns ist also z.B. (11)\binom{1}{-1}.

Für a0a\ne0 ist die letzte Koordinatengleichung nur erfüllt, wenn x1=0x_1=0 ist. Dann ist aber auch x2=x1=0x_2=-x_1=0, sodass in diesem Fall der Kern nur aus dem Nullvektor (00)\binom{0}{0} besteht.

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1. Fall: a0a\neq 0

Matrix hat Rang 2, der Kern hat also die Dimension 2-2=0.

Der Kern besteht also nur aus dem Nullvektor.

2. Fall: a=0a=0

In diesem Fall gilt für die Kernelemente x1+x2=0x_1+x_2=0.

Der Kern ist also {(cc) :   cR}\{{c \choose -c}: \; c\in \mathbb{R}\}

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