Kern einer (3x2) Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

… Kern einer Matrix bestimmen

Gegeben ist folgende Matrix  1 1

                                              0 0     (3x2)  muss man nun Kern Bestimmen

                                              a 0 
Problem/Ansatz:

… Kann mir bitte jemand erklären, wie man bei solche Matrixen Kern bestimmen kann ?

Vielen Dank in voraus

Answer 1

Aloha :)

Alle Vektoren $\binom{x_1}{x_2}$ im Kern müssen folgende Gleichung erfüllen:$$\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 0\\a & 0\end{pmatrix}\cdot\binom{x_1}{x_2}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Die linke Seite können wir umformen:$$\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}\cdot x_1+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot x_2=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Damit die Gleichung für die erste Komponente erfüllt ist, muss gelten:$$1\cdot x_1+1\cdot x_2=0\implies \pink{x_2=-x_1}$$Damit formen wir die Gleichung weiter um:$$\begin{pmatrix}1\\0\\a\end{pmatrix}\cdot x_1+\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cdot (-x_1)=\begin{pmatrix}x_1-x_1\\0-0\\ax_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\ax_1\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$

Für $a=0$ ist die letzte Koordinatengleichung immer erfüllt, egal welchen Wert $x_1$ hat. Daher sind in diesem Fall alle reellen Zahlen für $x_1$ zugelassen und die Vektoren des Kerns lauten:$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1}{-x_1}=x_1\binom{1}{-1}$$Ein Basisvektor des Kerns ist also z.B. $\binom{1}{-1}$.

Für $a\ne0$ ist die letzte Koordinatengleichung nur erfüllt, wenn $x_1=0$ ist. Dann ist aber auch $x_2=-x_1=0$, sodass in diesem Fall der Kern nur aus dem Nullvektor $\binom{0}{0}$ besteht.

Answer 2

1. Fall: $a\neq 0$

Matrix hat Rang 2, der Kern hat also die Dimension 2-2=0.

Der Kern besteht also nur aus dem Nullvektor.

2. Fall: $a=0$

In diesem Fall gilt für die Kernelemente $x_1+x_2=0$.

Der Kern ist also $\{{c \choose -c}: \; c\in \mathbb{R}\}$