Warum funktioniert die Formel sin(x1)=sin(2pi-x1) nicht bei dieser Gleichung?

Question

Aufgabe: sin(2x+3)=0.5

x1=-1.24 x2=-0.19 x3=1.89 x4=2.95 ...

Problem/Ansatz:

Wenn die Formel sin(x1)=sin(2pi-x1) ist, warum gibt es zwischen x1 und x2 eine Differenz von 1.05?

Wenn man diese Formel mit sin(2x)=0.5 benutzt, funktioniert es ganz gut. Warum ändert "+3" die Funktion dieser Formel, wenn die Periode gleich bleibt?

Die Differenz von 1.05 gibt auch bei x3 und x4, x5 und x6 usw.

Woher kommt diese Differenz?

Comments

Die Formel im Titel ist falsch.

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Ja es soll pi-x sein tur mir leid

Answer 1

Aloha :)

Du kannst die Gleichung nach \(x\) umstellen:$$\sin(2x+3)=\frac12\quad\big|\operatorname{arcsin}(\cdots)$$$$2x+3=\arcsin\left(\frac12\right)$$

Die Arcussinus-Funktion liefert nur einen einzigen Winkel \(\operatorname{\arcsin}(\frac12)=\frac\pi6\).

Wegen \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\) liegt in einem \(2\pi\)-Intervall aber noch ein zweiter Winkel$$\sin\left(\frac\pi6\right)=\sin\left(\pi-\frac\pi6\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12$$

Zusätzlich ist die Sinus-Funktion noch \(2\pi\)-periodisch, sodass gilt:$$2x+3=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\\[1ex]\frac{5\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\end{array}\right.$$

Das kannst du nun noch nach \(x\) umformen und erhältst alle Lösungen:$$x=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\\[1ex]\frac{5\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\end{array}\right.$$

Comments

Wenn bei der Gleichung eine 2 vor dem x steht (also 2x), soll die Periode nicht pi sein?

Könnten Sie bitte erklaeren, warum wir immer noch eine Interval von 2pi benutzen?

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Ich löse normalerweise solche Gleichungen so;

2x-3= 0.52 (arcsin(0.5))

x= -1.24

sin(-1.24) = sin(180 - (-1.24))

Wie funktioniert Ihrer Lösungsweg?

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Die Periode von dem Argument \((2x+3)\) ist \(2\pi\).

Die Periode von \(x\) ist daher tatsächlich \(\pi\), wie du auch am Endergebnis sieht. Da steht nur noch \(+\mathbb Z\cdot\pi\) und nicht mehr \(+\mathbb Z\cdot2\pi\)

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Noch eine letzte Frage:

Bei sin/2x)=0.5 funktioniert mein Weg ganz gut, also

x1= 0.26 --> sin(0.26)=sin (pi-0.26) → x2=1.31

Warum funktioniert es bei sin(2x+3) nicht?

Und warum gibt es eine Differenz von pi/3 zwischen z.B. x3 and x4?

Tut mir leid für die unendlichen Fragen ;)