Aloha :)
Du kannst die Gleichung nach \(x\) umstellen:$$\sin(2x+3)=\frac12\quad\big|\operatorname{arcsin}(\cdots)$$$$2x+3=\arcsin\left(\frac12\right)$$
Die Arcussinus-Funktion liefert nur einen einzigen Winkel \(\operatorname{\arcsin}(\frac12)=\frac\pi6\).
Wegen \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\) liegt in einem \(2\pi\)-Intervall aber noch ein zweiter Winkel$$\sin\left(\frac\pi6\right)=\sin\left(\pi-\frac\pi6\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12$$
Zusätzlich ist die Sinus-Funktion noch \(2\pi\)-periodisch, sodass gilt:$$2x+3=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\\[1ex]\frac{5\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\end{array}\right.$$
Das kannst du nun noch nach \(x\) umformen und erhältst alle Lösungen:$$x=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\\[1ex]\frac{5\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\end{array}\right.$$
