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Aufgabe: sin(2x+3)=0.5

x1=-1.24 x2=-0.19 x3=1.89 x4=2.95 ...

Problem/Ansatz:

Wenn die Formel sin(x1)=sin(2pi-x1) ist, warum gibt es zwischen x1 und x2 eine Differenz von 1.05?

Wenn man diese Formel mit sin(2x)=0.5 benutzt, funktioniert es ganz gut. Warum ändert "+3" die Funktion dieser Formel, wenn die Periode gleich bleibt?

Die Differenz von 1.05 gibt auch bei x3 und x4, x5 und x6 usw.

Woher kommt diese Differenz?

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Die Formel im Titel ist falsch.

Ja es soll pi-x sein tur mir leid

1 Antwort

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Aloha :)

Du kannst die Gleichung nach \(x\) umstellen:$$\sin(2x+3)=\frac12\quad\big|\operatorname{arcsin}(\cdots)$$$$2x+3=\arcsin\left(\frac12\right)$$

Die Arcussinus-Funktion liefert nur einen einzigen Winkel \(\operatorname{\arcsin}(\frac12)=\frac\pi6\).

Wegen \(\sin(\pi-x)=\sin(x)\) liegt in einem \(2\pi\)-Intervall aber noch ein zweiter Winkel$$\sin\left(\frac\pi6\right)=\sin\left(\pi-\frac\pi6\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12$$

Zusätzlich ist die Sinus-Funktion noch \(2\pi\)-periodisch, sodass gilt:$$2x+3=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\\[1ex]\frac{5\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\end{array}\right.$$

Das kannst du nun noch nach \(x\) umformen und erhältst alle Lösungen:$$x=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\\[1ex]\frac{5\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\end{array}\right.$$

Avatar von 152 k 🚀

Wenn bei der Gleichung eine 2 vor dem x steht (also 2x), soll die Periode nicht pi sein?

Könnten Sie bitte erklaeren, warum wir immer noch eine Interval von 2pi benutzen?

Ich löse normalerweise solche Gleichungen so;

2x-3= 0.52 (arcsin(0.5))

x= -1.24

sin(-1.24) = sin(180 - (-1.24))

Wie funktioniert Ihrer Lösungsweg?

Die Periode von dem Argument \((2x+3)\) ist \(2\pi\).

Die Periode von \(x\) ist daher tatsächlich \(\pi\), wie du auch am Endergebnis sieht. Da steht nur noch \(+\mathbb Z\cdot\pi\) und nicht mehr \(+\mathbb Z\cdot2\pi\)

Noch eine letzte Frage:

Bei sin/2x)=0.5 funktioniert mein Weg ganz gut, also

x1= 0.26 --> sin(0.26)=sin (pi-0.26) → x2=1.31

Warum funktioniert es bei sin(2x+3) nicht?

Und warum gibt es eine Differenz von pi/3 zwischen z.B. x3 and x4?

Tut mir leid für die unendlichen Fragen ;)

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