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Aufgabe: sin(2x+3)=0.5

x1=-1.24 x2=-0.19 x3=1.89 x4=2.95 ...

Problem/Ansatz:

Wenn die Formel sin(x1)=sin(2pi-x1) ist, warum gibt es zwischen x1 und x2 eine Differenz von 1.05?

Wenn man diese Formel mit sin(2x)=0.5 benutzt, funktioniert es ganz gut. Warum ändert "+3" die Funktion dieser Formel, wenn die Periode gleich bleibt?

Die Differenz von 1.05 gibt auch bei x3 und x4, x5 und x6 usw.

Woher kommt diese Differenz?

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Die Formel im Titel ist falsch.

Ja es soll pi-x sein tur mir leid

1 Antwort

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Aloha :)

Du kannst die Gleichung nach xx umstellen:sin(2x+3)=12arcsin()\sin(2x+3)=\frac12\quad\big|\operatorname{arcsin}(\cdots)2x+3=arcsin(12)2x+3=\arcsin\left(\frac12\right)

Die Arcussinus-Funktion liefert nur einen einzigen Winkel arcsin(12)=π6\operatorname{\arcsin}(\frac12)=\frac\pi6.

Wegen sin(πx)=sin(x)\sin(\pi-x)=\sin(x) liegt in einem 2π2\pi-Intervall aber noch ein zweiter Winkelsin(π6)=sin(ππ6)=sin(5π6)=12\sin\left(\frac\pi6\right)=\sin\left(\pi-\frac\pi6\right)=\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)=\frac12

Zusätzlich ist die Sinus-Funktion noch 2π2\pi-periodisch, sodass gilt:2x+3={π6+Z2π5π6+Z2π2x+3=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\\[1ex]\frac{5\pi}{6}+\mathbb Z\cdot2\pi\end{array}\right.

Das kannst du nun noch nach xx umformen und erhältst alle Lösungen:x={π12+Zπ325π12+Zπ32x=\left\{\begin{array}{r}\frac{\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\\[1ex]\frac{5\pi}{12}+\mathbb Z\cdot\pi-\frac32\end{array}\right.

Avatar von 152 k 🚀

Wenn bei der Gleichung eine 2 vor dem x steht (also 2x), soll die Periode nicht pi sein?

Könnten Sie bitte erklaeren, warum wir immer noch eine Interval von 2pi benutzen?

Ich löse normalerweise solche Gleichungen so;

2x-3= 0.52 (arcsin(0.5))

x= -1.24

sin(-1.24) = sin(180 - (-1.24))

Wie funktioniert Ihrer Lösungsweg?

Die Periode von dem Argument (2x+3)(2x+3) ist 2π2\pi.

Die Periode von xx ist daher tatsächlich π\pi, wie du auch am Endergebnis sieht. Da steht nur noch +Zπ+\mathbb Z\cdot\pi und nicht mehr +Z2π+\mathbb Z\cdot2\pi

Noch eine letzte Frage:

Bei sin/2x)=0.5 funktioniert mein Weg ganz gut, also

x1= 0.26 --> sin(0.26)=sin (pi-0.26) → x2=1.31

Warum funktioniert es bei sin(2x+3) nicht?

Und warum gibt es eine Differenz von pi/3 zwischen z.B. x3 and x4?

Tut mir leid für die unendlichen Fragen ;)

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