y' -2xy =-e^(x^2) Partikuläre Lösung

Question

Aufgabe:

Ich brauche hilfe beim lösen der folgenden DGL.

Vor allem den Partikulären Ansatz kriege ich nicht hin.

Das x auf der linken seite stört mich irgendwie..

Vieleicht kann jemand weiter helfen..

Vielen Dank

Gruß Frost

Text erkannt:

4h inhomogene \( O G L \)
\( y^{\prime}-2 x y=-e^{x^{2}} \)
homogene loscing.
\( y^{\prime}-2 x \cdot y=0 \)
\( y^{\prime}=2 x y \)
\( \frac{d y}{d x}=2 x y \)
\( \frac{1}{y} d y=2 x d x \)
\( \int \frac{1}{y} d y=\int 2 x d x \)
\( \ln 1 y 1=x^{2}+c / e^{\mu} \)
\( y=e^{x^{2}+c} \)
\( y b=c_{1} \cdot e^{x^{2}} \)
\( y p=-A \cdot e^{x^{2}} \)
\( y^{\prime} p=-2 x A e^{x^{2}} \) y in \( D G L \) einsetzen
\( -2 x \cdot A \cdot e^{x^{2}}-2 x \cdot\left(-A \cdot e^{x^{2}}\right)=-e^{x^{2}} /:\left(-e^{x^{2}}\right) \)
\( -2 x \cdot A+2 x \cdot A=1 \) ?

Comments

Noch ein Hinweis für Frost: Der Ansatz vom Typ der rechten Seite klappt i.Allg. nur bei linearen Dgl mit konstanten Koeffizienten.

Answer 1

Aloha :)

Die Lösung der homogenen DGL$$y'_0(x)-2xy_0(x)=0$$hast du korrekt bestimmt:$$y_0(x)=c_0\cdot e^{x^2}$$Zur Lösung der inhomognenen DGL:$$y'(x)-2xy(x)=-e^{x^2}$$ersetzt du in der homogenen Lösung die Konstante \(c_0\) durch eine Funktion \(c(x)\).

Das Verfahren nennt man "Variation der Konstanten". Du bildest dazu die Ableitung:$$y(x)=c(x)\cdot e^{x^2}\quad\implies\quad y'(x)=c'(x)\cdot e^{x^2}+2x\,c(x)\cdot e^{x^2}$$und setzt alles in die inhomogene DGL ein:$$\underbrace{c'(x)\cdot e^{x^2}+2x\,c(x)\cdot e^{x^2}}_{=y'(x)}-2x\,\underbrace{c(x)\cdot e^{x^2}}_{=y(x)}=-e^{x^2}\quad\big|\text{links zusammenfassen}$$$$c'(x)\cdot e^{x^2}=-e^{x^2}\quad\big|\div e^{x^2}$$$$c'(x)=-1\quad\big|\text{integrieren}$$$$c(x)=-x+c_1$$

Damit hast du die allgemeine Lösung gefunden:$$y(c)=(-x+c_1)\cdot e^{x^2}\quad;\quad c_1=\text{const}$$

Answer 2

Hallo,

Verfahren: Variation der Konstanten

der weitere Weg:

wichtig das C(x) muß sich "aufheben" , fällt heraus , sonst ist etwas falsch.