Bestimmen Sie mittels der Anfangsbedingung die Lösung.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie mittels der Anfangsbedingung $$ \hat{u} (0,k) = \frac{1}{\sqrt(2 \pi)} e^{-k^2/4} \hat{u}(t,k) $$.

Problem/Ansatz:

So ich würde nun den Ansatz wie folgt machen: $$ \hat{u} (t,k) = c_1*e^{ikt} + c_2 e^{-ikt} $$. Somit ergibt sich durch einsetzen folgendes:

$$ \frac{1}{\sqrt(2 \pi)} e^{-k^2/4} = c_1+c_2$$ und das ganze abgeleitet ergibt $$  \frac{1}{\sqrt(2 \pi)}(\frac{-ik}{2}) e^{-k^2/4} = ik(c_1-c_2)$$, aber nun komme ich irgendwie nicht weiter bei dem lösen, es kommt nur Blödsinn heraus.

Comments

Ich verstehe die Aufgabe nicht. Fehlt eine Info? Vielleicht eine Differentialgleichung?

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Also die volle Aufgabe lautet: Gesucht ist die Lösung der Gleichung $$\frac{d u(x,t)}{dt} - \frac{d^2 u(t,x) }{dx^2}  = 0$$ mit der Anfangsbedingung $$u(0,x) = e^{-x^2} $$.

Bestimmen sie die AB: $$\hat{u}(0,k)$$ was $$\frac{1}{\sqrt(2 \pi)} * e^{-k^2/4} $$  ergibt und damit muss ich nun $$\hat {u}(t,k) $$ ermitteln.

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Hast Du denn schon eine Gleichung oder Differentialgleichung für \(\hat{u}\) hergeleitet?

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Ich hab $$\hat {u}(0,k) $$ oben schon ermittelt gehabt mittels FT, und wollte mit der allgemeinen Lösung $$ \hat{u}(t,k) $$ berechnen eben wie ich es oben gemacht hab, nur komm ich auf unschöne Werte

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Woher kommt der Ansatz für \(\hat{u}\)?

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Indem ich die anfangsgleichung Umschreibe mittels Fouriertransformation und dann hätte ich den allgemeinen Ansatz verwendet für die spezifische Lösung

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Wie sieht die umgeschrieben Gleichung aus?

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$$\hat{u}(t,x) (\frac{d}{dt} +k^2)=0 $$

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Das hast Du zwar komisch notiert. Aber es ist eine Dgl erster Ordnung, diese wird von Deinem o.g. Absatz nicht gelöst. Also: Was ist die Lösung von f'+k^2*f=0?

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Die Lösung wäre $$f(t)=c_1*e^{-k^2t} $$

Nun Nehme ich die Anfangsbedingung setze für t = 0 ein, damit komme ich zu

$$ \hat{f}(0,k) = c_1 $$ somit ist mein  $$ \hat{f}(t,k) = \frac{1}{\sqrt(2)}e^{-k^2/4}*e^{-k^2t}$$

Kann das stimmen so?

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Ja, das stimmt jetzt, Du hast nur ei pi vergessen.

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Danke dir für deine Geduld und Hilfe!

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Gern geschehen