Aloha :)
Wenn der Gleichgewichtszustand \(\vec g\) erreicht ist, ändert die Anwendung der Transformationsmatrix diesen Gleichgewichtszustand nicht mehr. Formal heißt das:$$\begin{pmatrix}0,7 & 0,1 & 0,1\\0,2 & 0,8 & 0,3\\0,1 & 0,1 & 0,6\end{pmatrix}\cdot\vec g=\vec g$$
Wir suchen also den Eigenvektor \(\vec g\) zum Eigenwert \(\lambda=1\). Dass die Matrix den Eigenwert \(\lambda=1\) hat, ist klar, weil die Summe in jeder Spalte gleich \(1\) ist. Wir bestimmen den Eigenvektor \(\vec g\):$$\begin{pmatrix}0,7 & 0,1 & 0,1\\0,2 & 0,8 & 0,3\\0,1 & 0,1 & 0,6\end{pmatrix}\cdot\vec g-\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\vec g=\vec 0\implies\left(\begin{array}{rrr}-0,3 & 0,1 & 0,1\\0,2 & -0,2 & 0,3\\0,1 & 0,1 & -0,4\end{array}\right)\cdot\vec g=\vec 0$$
Die Lösung des Gleichungssystems liefert: \(\quad\vec g=(0,25|0,55|0,2)^T\).
