Zweite Ableitung von f(x) = e^{-x} • sin(x²)

Question

Aufgabe:

Bestimme die zweite Ableitung von

f(x) = e^-x • sin(x²)

Problem/Ansatz:

u = e^-x
u' = -e^-x

v = sin(x²)
v' = 2x • cos(x²)

Also ist
f'(x) = e^-x • (2x cos(x²) - sin(x²))

Jetzt müsste ich ja erstmal die Klammer ableiten, also (2x cos(x²) - sin(x²)), aber da bin ich irgendwie überfordert

Welche Regeln wende ich hier an bzw wie gehe ich vor?

Nachdem ich die Klammern abgeleitet habe, würde ich die Produktregel anwenden

LG

Answer 1

Aloha :)

Die erste Ableitung hast du korrekt bestimmt:$$f'(x)=e^{-x}\cdot(2x\cos(x^2)-\sin(x^2))$$

Bei der zweiten Ableitung würde ich \(f'(x)\) vor dem Ableiten ausmultiplizieren:$$f'(x)=\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{2x}_{=v}\cdot\underbrace{\cos(x^2)}_{=w}-\underbrace{e^{-x}\cdot\sin(x^2)}_{=f}$$

Der Minuend besteht aus dem Produkt von drei Funktionen \(u,v,w\) und der Subtrahend ist gleich der ursprünglichen Funktion \(f\), deren Ableitung wir ja gerade zuvor bestimmt haben. Damit kannst du die zweite Ableitung wie folgt bilden:$$f''(x)=\underbrace{\left(e^{-x}\right)'}_{=u'}\cdot\underbrace{2x}_{=v}\cdot\underbrace{\cos(x^2)}_{=w}+\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{(2x)'}_{=v'}\cdot\underbrace{\cos(x^2)}_{=w}+\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{2x}_{=v}\cdot\underbrace{(\cos(x^2))'}_{=w'}-f'(x)$$

Jetzt musst du bei \(v'\) und bei \(w'\) noch auf die Kettenregel achten:$$\phantom{f''(x)}=\underbrace{\left(-e^{-x}\right)}_{=u'}\cdot\underbrace{2x}_{=v}\cdot\underbrace{\cos(x^2)}_{=w}+\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{2}_{=v'}\cdot\underbrace{\cos(x^2)}_{=w}+\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{2x}_{=v}\cdot\underbrace{(-2x\sin(x^2))'}_{=w'}-f'(x)$$$$\phantom{f''(x)}=e^{-x}(-2x\cos(x^2)+2\cos(x^2)-4x^2\sin(x^2))-\underbrace{e^{-x}(2x\cos(x^2)-\sin(x^2))}_{=f'(x)}$$$$\phantom{f''(x)}=e^{-x}(-2x\cos(x^2)+2\cos(x^2)-4x^2\sin(x^2)-2x\cos(x^2)+\sin(x^2))$$$$\phantom{f''(x)}=e^{-x}(-4x\cos(x^2)+2\cos(x^2)-4x^2\sin(x^2)+\sin(x^2))$$$$\phantom{f''(x)}=e^{-x}((2-4x)\cos(x^2)+(1-4x^2)\sin(x^2))$$$$\phantom{f''(x)}=e^{-x}(2(1-2x)\cos(x^2)+(1-2x)(1+2x)\sin(x^2))$$$$\phantom{f''(x)}=e^{-x}\cdot(1-2x)\cdot(2\cos(x^2)+(1+2x)\sin(x^2))$$

Answer 2

f(x) = e^(-x)·SIN(x^2)

f'(x) = e^(-x)·(2·x·COS(x^2) - SIN(x^2))

f''(x) = e^(-x)·((2 - 4·x)·COS(x^2) + (1 - 4·x^2)·SIN(x^2))

Wenn du es alleine nicht hinbekommst, kann man auch einen Ableitungsrechner fragen

https://www.ableitungsrechner.net/

Comments

vielen Dank für die Seite, die war sehr hilfreich!

Answer 3

Bei f'(x) benutzt du wieder die Produktregel mit u=e^-x und v=2xcos(x^2)-sin(x^2).

Erstmal leitest du die einzelnen Werte in der Klammer ab, also "2xcos(x^2)" und "-sin(x^2)"

Beim ersten Wert nutzt du wieder die Produktregel mit (nehme andere Werte)

n=2x und m=cos(x^2) , also n'=2 und m'=2x*-sin(x^2)

Das ergibt 2cos(x^2)-4x^2*sin(x^2)

und -sin(x^2) abgeleitet ist (x^2)'*-cos(x^2)=-2xcos(x^2) (innere Ableitung mal die äußere Ableitung bei cos/sin-Funktionen)

also ist (2xcos(x^2)-sin(x^2))'=2cos(x^2)-4x^2*sin(x^2)-2xcos(x^2)