Aufgaben zur Geradenschar

Question

Aufgabe:

Gegeben sind A(3/4/4), B(2/4+2a/4+a), C(3/0/4) und D(7/8/0).
a) Stellen Sie eine Parametergleichung der Geradenschar g_a durch A und B sowie eine Parametergleichung der Geraden h durch C und D auf.
b) Beschreiben Sie die Lage der Geraden der Schar g_a
c) Welche Gerade der Schar g_a schneidet die z-Achse? Geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an.
d) Welche Gerade der Schar g_a hat in der y-z-Ebene den Spurpunkt S_yz (0/-8/-2)
e) Für welchen Wert von a schneiden sich die Geraden g_a und h? Berechnen Sie auch den Schnittpunkt.
f) Für welche Werte von a sind die Geraden g_a und h windschief?

Problem/Ansatz:

Ich habe erst neu mit dem Thema Geradenshar angefangen und weiß somit nicht wie ich diese Aufgaben lösen soll. Wäre nett wenn mir einer dabei helfen könnte.

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Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

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in der Aufgabe

Answer 1

Bei einem beliebigen Punkt auf der z-Achse sind sowohl die x- als auch die y-koordinate dieses Punktes jeweils 0.

Wähle das als Ansatz.

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Dieser Ansatz hilft mir aber nicht bei aufgabe b weiter.

Zu Aufgabe a) habe ich jetzt

g_a: x=(3/4/4) + r(-1/2a/a) und

h: h=(3/0/4) + s(4/8/4)

Jetzt weiß ich aber nicht was mit der Bestimmung der Lage gemeint ist?

Oder muss ich ga einfach 0 setzen in einem Gleichungssystem?

Answer 2

Hallo,

was die Lage der Geraden anbetrifft, kann ich mir vorstellen, dass du die Gleichung einer Ebene angeben sollst, in der die Schar liegt.

Die kannst du bestimmen, indem du für a beliebige Zahlen einsetzt, ich nehme 1 und 2.

\(g_a:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\4\\4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1\\2a\\a \end{pmatrix}\\ g_1:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\4\\4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix}\\ g_2:\;\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\4\\4 \end{pmatrix}+r\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix}\\\)

Damit hättest du eine Parameterform der Ebene:

\(E: \begin{pmatrix} 3\\4\\4 \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -1\\4\\2 \end{pmatrix} \)

Gruß, Silvia

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kann ich mir vorstellen, dass du die Gleichung einer Ebene angeben sollst, in der die Schar liegt.

Ich kann mir darüber hinaus vorstellen, dass du außerdem nachweisen sollst, dass es eine solche Ebene tatsächlich gibt.

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Willst du mir damit sagen, dass die Aufstellung der Ebenengleichung nicht genügt?

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Da drei Punkte immer in einer Ebene liegen, kannst du mit deiner Methode nicht feststellen, ob die Geradenschar nicht eventuell auf einem (Doppel-)Kegelmantel liegt.

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Doppel-Kegelmantel ist, so hoffe ich, kein Thema für den FS, der offenbar gerade erst mit dem Thema Geradenscharen begonnen hat.

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Das der Parameter \(a\) hier nur linear eingeht, ist es eine Ebene.

Bzw. da alle Punkte \(B(a)\) auf einer Gerade liegen, so bildet diese Gerade (in der der Punkt \(A\) nicht liegt) zusammen mit \(A\) eine eindeutige Ebene.