Hilfe bei Beweisen mit Summenzeichen

Question

Aufgabe:

Rechnen Sie nach, dass \( \sum \limits_{x=1}^{n}y_{x-1}=\sum \limits_{x=0}^{n-1}y_{x} \)

Problem/Ansatz:

Ich soll meinem Bruder bei der Aufgabe helfen. Beim Rechnen kriege ich Mathe1 noch irgendwie zusammen; beim Beweisen bin ich dann aber raus. Kann jemand von euch mir auf die Sprünge helfen :)

Answer 1

Setze \(t=x-1\), dann ist \(t=0\) für \(x=1\) und \(t=n-1\) für \(x=n\).

Nun haben wir also die Gleichung$$\sum_{x=1}^n y_{x-1}=\sum_{t=0}^{n-1} y_t$$Da der Name des Laufindex egal ist,

nennen wir \(t\) jetzt \(x\) und erhalten$$\sum_{x=0}^{n-1} y_x$$

Answer 2

Aloha :)

Du möchtest die Summation über \(k\) nicht von \(1\) bis \(n\), sondern von \(0\) bis \((n-1)\) laufen lassen. Dann wird das \(k\) in jedem Summanden um \(1\) zu klein sein.

Das kann man "reparieren", indem man das \(k\) in jedem Summanden um \(1\) vergrößert:

$$\sum\limits_{k=1}^ny_{k-1}=\sum\limits_{k=1\pink{-1}}^{n\pink{-1}}y_{(k\pink{+1})-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k+1-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_{k}\quad\checkmark$$

Alternativ dazu kannst du die Summe auch einfach hinschreiben:$$\sum\limits_{k=1}^ny_{k-1}=y_{1-1}+y_{2-1}+y_{3-1}+\cdots+y_{n-1}=y_0+y_1+y_2+\cdots+y_{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}y_k$$